Eficiencia Económica de Michael J. Farrell¹


Idea de Farrell ²

Al intentar evaluar nuestra posición como una empresa de menor tamaño dedicada al desarrollo de software —específicamente, al diseño e implantación de sistemas para el control y seguimiento de procesos de tratamiento documental de datos en los ámbitos de proyectos y contratos—, llegamos a la conclusión de que nuestra actividad productiva podía considerarse eficiente y competitiva dentro de un mercado suficientemente definido y acotado ³.

Función de Producción DocIRS

El enfoque que DocIRS bosquejó, inspirado en los conceptos de eficiencia relativa desarrollados por Farrell, fue buscar y estudiar nuestra posición dentro de la industria considerando las características particulares de nuestra tecnología productiva. Esta se encuentra fuertemente sustentada en el conocimiento especializado, la inteligencia aplicada al procesamiento de información y la automatización de procesos, dentro de un ámbito de negocio acotado al desarrollo e implantación de sistemas de software .

Esta característica tecnológica introduce diferencias importantes respecto de empresas cuya actividad productiva depende principalmente de la utilización de equipos de capital convencionales o de tecnologías más antiguas. En consecuencia, no todas las empresas que participan de una misma industria son necesariamente comparables desde la perspectiva de la eficiencia relativa, aun cuando produzcan bienes o servicios aparentemente similares.

Por esta razón, la construcción de una muestra para estimar una frontera de eficiencia debe considerar no solo el tamaño de las empresas y el mercado en el que operan, sino también la naturaleza de la tecnología utilizada, el grado de automatización, el conocimiento incorporado a los procesos y las condiciones tecnológicas bajo las cuales se obtiene el producto o servicio. De lo contrario, la frontera empírica podría mezclar unidades productivas con estructuras tecnológicas sustancialmente diferentes, distorsionando la interpretación de las podría mezclar unidades productivas con estructuras tecnológicas.


 Muestra Homogénea

Luego, tanto las unidades de medición de \( L \) como de \( K \) de las \( n \) observaciones de la muestra \( S \), deben estar bien definidas, normalizadas e indexadas para estimar, sin distorsiones la comparación de la eficiencia relativa de Farrell.

En efecto, para que la comparación de eficiencia relativa resulte metodológicamente consistente, con un tamaño significativo de la muestra, - en este caso \( n=55 \) -, donde las observaciones que integran \( S \) deben corresponder a unidades productivas suficientemente homogéneas y estar expresadas mediante definiciones comunes de los factores \( L \) y \( K \).

Cuando estos factores poseen unidades de medida diferentes o combinan diversas variables, resulta conveniente normalizarlos o expresarlos mediante índices respecto de una referencia común. Este procedimiento permite reducir las distorsiones derivadas de la escala de medición. Sin embargo, la normalización por sí sola no garantiza la comparabilidad ⁵.

Gráfica \( \small {[F_1]} \): Definición de Eficiencia Relativa ⁶

A partir de las métricas previamente analizadas en relación con la función de producción Cobb-Douglas , y utilizando la representación clásica de la eficiencia económica propuesta por Michael J. Farrell (1957), es posible establecer una medida relativa de eficiencia.

Esta representación, - ilustrada en la gráfica \( \small {[F_1]} \)-, se basa en una isocuanta eficiente, entendida como una frontera de producción, y en un punto que representa la combinación de insumos utilizada por una empresa observada.

Dentro de un ámbito productivo específico y considerando una muestra discreta y comparativa observaciones \( S \) ⁷, se construye una geometría que permite distinguir las siguientes medidas relativas:

Así mismo, la representación gráfica \( \small {[F_1]} \) permite distinguir los siguientes puntos:

La distinción entre estos componentes y una comprensión geométrica de la definición de Farrell pueden apreciarse con mayor claridad mediante las figuras \( \small {[F_1]} \) y \( \small {[F_2]} \).


 Rendimientos Constantes a Escala

Analizando la gráfica \( \small{[F_1]} \), donde se supone la existencia de rendimientos constantes a escala, con un único producto (output) y dos factores de producción, la tecnología productiva puede representarse mediante una isocuanta \( II'\), que reúne todas aquellas combinaciones de los dos factores capaces de producir una misma cantidad de producto ⁹.

Sea \( DD'\) la recta de precios o isocosto. Su punto de tangencia con la isocuanta, \( Q'\), representa la combinación óptima de los dos factores de producción, dados sus respectivos precios. Sin embargo, una empresa puede no operar en \(Q'\), sino en un punto como \( P \).

La distancia \( OP \), comparada con \( OQ \), permite medir en qué grado la misma cantidad de output podría producirse utilizando una menor cantidad de insumos y manteniendo constante su proporción ¹⁰. Esta medida corresponde a lo que Farrell denomina eficiencia técnica.

Por otra parte, la relación \(\frac{OR}{OP}\) mide la proporción de los costos que podría alcanzarse si la combinación relativa de los insumos se modificara de acuerdo con sus respectivos precios, manteniendo el nivel de producción. Esta medida corresponde a la denominada eficiencia de precios o, en terminología más habitual, eficiencia asignativa.

La medida global o agregada, que resulta particularmente útil para nuestro propósito de evaluación, corresponde a la eficiencia económica, que puede expresarse como:

Donde, la expresión \( \small{[E_3]} \) algebraicamente es una descomposición multiplicativa mediante la introducción de \(OP\).

De esta manera, la eficiencia económica combina dos dimensiones complementarias: la capacidad de producir una determinada cantidad de output utilizando la menor cantidad técnicamente posible de insumos (eficiencia técnica), y la capacidad de utilizar esos insumos en una proporción que minimice su costo, dados sus respectivos precios (eficiencia asignativa).

Gráfica \( \small {[F_2]} \): Determinación Empírica de la Frontera
Medida de Eficiencia de Farrell ¹²

A partir de un conjunto de observaciones discretas, expresadas como pares ordenados \((L_i,K_i)\) en el plano de insumos \(L\times K\), puede construirse una frontera empírica de eficiencia utilizando las observaciones que representan las combinaciones de insumos más eficientes para un determinado nivel de producción ¹³.

La imagen puede interpretarse como una muestra de \( n = 55 \) empresas que producen el mismo nivel de output, por ejemplo \( Y=100 \), utilizando distintas combinaciones de dos factores:

• \( L \): Trabajo, medido en unidades equivalentes de trabajo


• \( K \): Capital, medido en unidades equivalentes de capital


• \( Y \): Nivel de producción de referencia para todas las empresas (Por ejemplo \(Y=100\))

Es importante hacer una precisión conceptual: no todos los puntos deben pertenecer a la isocuanta eficiente. La idea de Farrell es precisamente que algunas empresas utilizan más insumos de los técnicamente necesarios para producir el mismo output. Por ello, los puntos observados forman una nube alrededor de una frontera empírica de eficiencia.

Para cada observación buscamos aquellas empresas para las cuales no existe otra empresa que utilice simultáneamente menos trabajo y menos capital. En la gráfica \( \small {[F_2]} \), se marca con color rojo los puntos que pertenecen a la frontera relativamente más eficiente de la isocuanta.

Esta frontera constituye una envolvente de las observaciones de la muestra y puede interpretarse como una aproximación empírica a la isocuanta eficiente. En términos conceptuales, se trata de una frontera que representa las mejores prácticas observadas dentro de la muestra, frente a la cual pueden compararse las restantes unidades productivas.


 Síntesis Gráfica del Proceso de Eficiencia de Farrell

El propósito de aplicar los conceptos de Farrell fue para obtener una medida relativa de eficiencia económica para una empresa individual que sea coherente con la noción intuitiva de productividad. Farrell propone, en este sentido, reemplazar la función de producción teórica —generalmente desconocida— por una frontera empírica construida a partir de la muestra \( S \) de empresas o unidades productivas comparables.

La siguiente figura animada \([F_3]\) ilustra este principio mediante la dispersión de observaciones en el plano de los insumos. La envolvente de las observaciones más eficientes define la frontera de referencia, permitiendo medir la distancia relativa de cada empresa respecto de dicha frontera.

\([F_3]\): Síntesis Gráfica del Proceso de Eficiencia de Farrell ¹⁴

Con esta frontera empírica de Farrell y sus datos asociados se puede construir las mediciones de eficiencia de manera muy sencilla.

Por lo tanto, la medida de Farrell depende tanto del tamaño \( n \) como de la composición de la muestra \( S \). Este carácter relativo constituye una de las principales características de su enfoque y, al mismo tiempo, una de sus principales limitaciones.

Nótese que una vez determinado los pares ordenados \( (L_i,K_j) \) que representan la frontera eficiente, podría ser conveniente estimar una curva isocuanta continua y diferenciable que intente aproximarse sobre los puntos de esa frontera ¹⁵. Ver curva isocuanta en color verde en \([F_3]\).

Si se estima la eficiencia de un caso particular de una empresa con una situación productiva \( P \), sobre esa nube de observaciones, entonces se debe calcular la recta tangente al punto \( Q' \) que es la combinación óptima de los dos factores de producción en la isocuanta, de ese modo conocer el punto de mínimo \( R \) que es el mínimo costo sobre la frontera eficiente. El contenido puede mejorarse bastante en fluidez, precisión conceptual y coherencia terminológica, manteniendo la idea original de que el enfoque de Farrell puede extenderse más allá de la eficiencia económica hacia la evaluación comparativa del desempeño.


 Perspectivas y Usos del Método de Farrell

Desde nuestra perspectiva, el método de Farrell no solo puede utilizarse para medir la eficiencia económica, sino que también puede extenderse al análisis del desempeño relativo en distintos ámbitos donde existan registros cuantificables de rendimiento. Por ejemplo, puede aplicarse para evaluar la productividad o el desempeño de equipos, trabajadores, unidades operativas, procesos o cualquier otro conjunto de unidades comparables, siempre que se disponga de datos que permitan establecer una referencia común y realizar un análisis comparativo.

En este sentido, la adaptación del enfoque de Farrell permite construir una frontera de referencia a partir de las mejores observaciones de una muestra y determinar la posición relativa de cada unidad respecto de dicha frontera. El resultado puede expresarse mediante una puntuación o indicador de eficiencia que proporcione un estándar cuantitativo y fácilmente interpretable para evaluar qué tan cerca se encuentra una determinada unidad de las mejores prácticas observadas.

Desde cualquiera de estas perspectivas, el método presenta, sin embargo, algunos aspectos que requieren especial consideración. Entre ellos se encuentran la necesidad de establecer determinados supuestos tecnológicos —como el supuesto de rendimientos constantes a escala presente en la formulación original—, las dificultades para realizar comparaciones entre unidades que operan bajo condiciones de competencia imperfecta y, especialmente, la posibilidad de que existan diferencias significativas en los entornos tecnológicos, económicos y competitivos de las unidades que integran la muestra.

Este último aspecto resulta particularmente relevante para cualquier definición de eficiencia relativa. Una comparación solo resulta significativa cuando las unidades analizadas operan bajo condiciones suficientemente comparables. Por ello, al construir una medida empírica de eficiencia, resulta conveniente estandarizar, en la medida de lo posible, las características relevantes del entorno en el que opera cada unidad.

En consecuencia, una medida de eficiencia relativa debería procurar distinguir entre las diferencias atribuibles propiamente al desempeño o a la eficiencia productiva y aquellas que pueden explicarse por condiciones externas a la unidad analizada. Idealmente, la medición debería incorporar o controlar las características relevantes del entorno, de modo que el indicador refleje no solo las diferencias observadas en eficiencia, sino también el grado en que las condiciones en las que opera cada unidad pueden ser más o menos favorables respecto de las condiciones de las unidades utilizadas como referencia.

Bajo esta perspectiva, el principal valor del enfoque de Farrell no radica únicamente en asignar una puntuación de eficiencia, sino en proporcionar un criterio relativo de comparación basado en las mejores prácticas observadas dentro de un conjunto de unidades suficientemente homogéneas. De este modo, la frontera de referencia puede constituirse en un instrumento para identificar brechas de desempeño, analizar posibles mejoras y evaluar, con una base cuantitativa, diferentes procesos, estrategias o formas de organización.


 K: Capital DocIRS

Nota En el caso de DocIRS, el concepto de capital \(K\) adquiere una interpretación particular. No se refiere principalmente a grandes inversiones en infraestructura física, maquinaria o disponibilidad de fondos financieros, sino al capital tecnológico e intelectual acumulado a través del tiempo. Este capital está constituido por la inteligencia aplicada al desarrollo de software, la automatización de procesos, las librerías de funciones, los algoritmos, los motores y estructuras de datos, las herramientas tecnológicas y el conocimiento especializado de un equipo reducido de personas competentes. A ello se suma la experiencia acumulada durante una extensa trayectoria tecnológica, que se inicia en las primeras plataformas basadas en DOS y evoluciona progresivamente hacia arquitecturas modernas, servicios en la nube y sistemas de procesamiento automatizado de información. Desde esta perspectiva, el factor \(K\) de DocIRS puede entenderse como una forma de capital productivo incorporado en conocimiento, software, experiencia, inteligencia y automatización. Su valor no depende necesariamente del tamaño de la infraestructura física ni del volumen de los recursos financieros disponibles, sino de la capacidad de transformar conocimiento y tecnología en procesos más eficientes y en una mayor capacidad de producción.

 Aproximación Estadística de la Curva Isocuanta

Para determinar una función isocuanta Cobb-Douglas, es decir, una curva continua y diferenciable que proporcione una aproximación suavizada a la frontera eficiente, se aplica una regresión lineal sobre los logaritmos naturales de los puntos que conforman la frontera empírica de Farrell.

\([F_4]\): Función Continua y Diferenciable \( K=1045.68\,L^{-0.84916} \) ¹⁶

La curva verde representa la función estimada mediante el método de mínimos cuadrados, mientras que los puntos rojos constituyen la envolvente empírica de Farrell. De este modo, la curva continua busca aproximarse, con el menor error cuadrático posible, al conjunto discreto de puntos que define dicha frontera.

Para un nivel de producción constante \(Y=100\), la función de producción Cobb-Douglas se expresa como:

$$ \bbox[white,12px,border:1px solid #c0c0c0] { Y=A \ L^\alpha K^\beta } \qquad\quad \small{[CD_1]} $$
Ahora, usando el nivel de output establecido, \( Y=100 \), se tiene:

$$ 100=A \ L^\alpha K^\beta, \text{ donde } A \ne 0 \qquad\quad \small{[CD_2]} $$

Despejando \( K \), - que representa la función \( K=f(L) \) se obtiene:

$$ K=\left(\frac{100}{A}\right)^{1/\beta}L^{-\alpha/\beta} \qquad\quad \small{[CD_3]} \\ \text{ }\\ \text{donde,}\quad A \gt 0,\qquad L\gt 0,\qquad K \gt 0,\qquad \beta\neq 0 $$

 +  Demostración Algebraica de \( \small{[CD_3]} \)

x

P.D. Por demostrar que la función \( K=f(L) \) de la isocuanta, - ilustrada en la gráfica \([F_4]\) -, se expresa como: $$K=\left(\frac{100}{A}\right)^{1/\beta}L^{-\alpha/\beta}$$ Iniciando con la expresión rotulada en \( \small{[CD_2]} \)): $$ 100=A \ L^\alpha K^\beta $$ Despejando \(K\) de esa ecuación, dividiendo ambos lados por \(A L^\alpha\) se obtiene:: $$ \require{cancel} \text{ }\\ \frac{100}{A L^\alpha} = \frac{\cancel{A L^\alpha} K^\beta}{\cancel{A L^\alpha}} $$ $$ \frac{1}{L^\alpha}=L^{-\alpha}\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ K^\beta = \frac{100}{A}L^{-\alpha}\\ \text{ }\\ \implies\\ $$ Elevando ambos miembros a la potencia \(\left( 1/\beta \right) \) $$ \left(K^\beta\right)^{1/\beta} = \left[ \frac{100}{A}L^{-\alpha} \right]^{1/\beta} $$ $$ \implies $$ $$ K= \left(\frac{100}{A}\right)^{1/\beta} \left(L^{-\alpha}\right)^{1/\beta} $$ $$ \text{Sea } C= \left(\frac{100}{A}\right)^{1/\beta}$$ $$ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \bbox[#F9F9F9,12px,border:1px solid #555]{K= C L^{-\alpha/\beta}} $$ QED//

Como \(Y\) permanece constante, la isocuanta puede expresarse de forma general como:

$$ K=C L^{-\alpha/\beta}, \qquad C\in\mathbb{R}^{+} $$

donde \(C\) es una constante que depende del nivel de producción y del parámetro \(A\).

Para transformar esta expresión en un modelo lineal, se aplica logaritmo natural a ambos lados:

$$ \ln {(K)}=\ln {(C)}-\frac{\alpha}{\beta}\ln {(L)} $$
En consecuencia, se obtiene un modelo de regresión lineal simple, donde la variable dependiente es \(\ln {(K)}\) y la variable independiente es \(\ln {(L)}\). La estimación de sus coeficientes, utilizando los puntos de la frontera empírica, permite obtener la siguiente función:

$$ K=1045.68\,L^{-0.84916} $$

Esta expresión corresponde a la curva isocuanta Cobb-Douglas estimada que aproxima la frontera empírica representada por los puntos rojos.

Los resultados indican un buen ajuste de la curva estimada a los puntos de la frontera. En particular, se obtiene un coeficiente de determinación ajustado de:

$$ R^2_{\text{ajustado}}=0.9542 $$
lo que indica que aproximadamente el 95,42 % de la variabilidad de \(\ln {(K)}\) es explicada por el modelo lineal estimado en función de \(\ln {(L)}\).

Asimismo, el error cuadrático medio en las unidades de \(K\), expresado como raíz del error cuadrático medio, es aproximadamente \( 4.05 \)

Por tanto, la función

$$ \bbox[8px,border:1px solid #c0c0c0]{K=1045.68\,L^{-0.84916}} $$
Función que, proporciona una aproximación continua y diferenciable de la frontera empírica de Farrell, permitiendo reemplazar el conjunto discreto de observaciones por una curva matemática suavizada que facilita su análisis y representación gráfica.

 +  Demostración Linearización Logarítmica

x

P.D. Con los 10 puntos de la frontera empírica la aproximación estadística se obtiene ajustando una regresión lineal a los logaritmos naturales de \(L_i\) y \(K_i\), el procedimiento conduce a: $$ K=1045.68\,L^{-0.84916}\qquad \land \qquad R^2=0.9542 $$ Es decir, por demostrar los detalles de la linearización de la Cobb Douglas \( \small{[CD_1]} \) y cálculo de los coeficientes y medidas mediante la aplicación de un modelo de regresión simple. A este efecto, se utilizan los puntos de la frontera empírica de Farrell, configurada desde la muestra \( S \)4 para obtener una función continua y diferenciable \( K=f(L) \), - ilustrada en la gráfica \([F_4]\) -, que representa la isocuanta estimada para cada nivel de \(L\) y \(K\) permitiendo mantener el mismo nivel de producción \( Y=100\). Puntos Frontera ~ Valores (Li,Ki) Empresa L K E08 20,1 80,3 E11 24,3 75,5 E17 25,0 66,6 E19 30,4 65,1 E26 31,0 54,6 E32 38,4 49,1 E45 39,7 39,7 E52 49,0 34,2 E54 73,1 27,4 E55 82,1 27,1 Por tanto, el objetivo de aplicar la regresión lineal es para estimar una función continua y diferenciable,- (que admite derivar \( \frac{dK}{dL} \)) -, más cercana a la frontera empírica de Farrel, que facilite el análisis, de ese modo obtener la recta tangente (isocosto) sobre el punto de mínimo costo de la curva. Desarrollo ~ Estimadores En efecto, iniciando con la expresión: $$ K=C L^{-\gamma}\\ \text{ }\\ \text{donde }\quad C\gt 0\quad \land \quad \gamma \gt 0 $$ Aplicando logaritmo natural: $$ \ln{(K)}=\ln\left(C L^{-\gamma}\right) $$ Utilizando las propiedades de los logaritmos: $$ \ln{(K)}=\ln{(C)}-\gamma\ln{(L)} $$ Ahora, sean \( x_i=\ln{(L)}_i \quad\) e \(\quad y_i=\ln{(K)}_i\)- $$ \implies\\ \text{ }\\ y_i = a + b\ x_i + \mu \qquad\quad \small{[CD_6]} \\ \text{ }\\ \text{donde}\\ \text{ }\\ a=\ln{(C)} \quad \text{y} \quad b=-\gamma $$ En la siguiente tabla se calculan los valores \( x_i \) y \( y_i\) y los valores logarítmicos, sumas cuadráticas y productos cruzados: Empresa Li Ki xi yi xi2 yi2 xiyi E08 20,1 80,3 3,000720 4,385770 9,004321 19,234978 13,160468 E11 24,3 75,5 3,190476 4,324133 10,179137 18,698126 13,796043 E17 25,0 66,6 3,218876 4,198705 10,361163 17,629124 13,515111 E19 30,4 65,1 3,414443 4,175925 11,658421 17,438350 14,258458 E26 31,0 54,6 3,433987 4,000034 11,792267 16,000272 13,736065 E32 38,4 49,1 3,648057 3,893859 13,308320 15,162138 14,205020 E45 39,7 39,7 3,681351 3,681351 13,552345 13,552345 13,552345 E52 49,0 34,2 3,891820 3,532226 15,146263 12,476621 13,746788 E54 73,1 27,4 4,291828 3,310543 18,419788 10,959695 14,208281 E55 82,1 27,1 4,407938 3,299534 19,429917 10,886925 14,544141 Suma 36,179496 38,802080 132,851941 152,038573 138,722719 Las sumas necesarias para la regresión son: $$ \sum x_i=36.179497 \quad \longrightarrow \quad $$ $$ \sum x_i^2=132.851950 $$ $$ \sum x_i y_i=138.722715 $$ $$ \sum y_i=38.802078 \quad \longrightarrow \quad $$ $$ \sum y_i^2=152.038556 $$ Donde, las medias de \( x \) e \( y \) son: $$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{36.179497}{10}\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \bar{x}=3.617950 $$ $$ \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{38.802078}{10}\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \bar{y}=3.880208 $$ La pendiente \(b\) de la regresión lineal \( \small{[CD_6]} \) estimada por el método de los mínimos cuadrados es: $$ b= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} $$ Donde el denominador es: $$ S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ S_{xx}=1.9563488 $$ y el numerador es: $$ S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ S_{xy}=-1.6612512 $$ Por lo tanto: $$ b= \frac{-1.6612512}{1.9563488}=-0.849159 $$ El intercepto de la regresión se calcula mediante: $$ a=\bar{y}-b\ \bar{x} $$ Sustituyendo (a solo 3 decimales \(\approx\)): $$ a = 3.880 - (-0.849)(3.618) = 6.952 \\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \large{\hat{y}}=\underbrace{6.952}_{\text{a}}-\underbrace{0.849}_{\text{b}}·\large{x} $$ Dado que \(x=\ln{(L)}, \qquad y=\ln{(K)} \), se tiene que $$ \bbox[#F9F9F9,12px,border:1px solid #c0c0c0] { \widehat{\ln{(K)}} = 6.952-0.849· \ln{(L)} } $$ Luego, para determinar función original se aplica el proceso inverso a los logaritmos: $$ a=\ln{(C)} \quad \implies \quad C=e^a \quad \implies \quad a=6.952\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ C = e^{6.952}=1045.679 $$ y como: $$ b=-\gamma \quad\implies\quad \gamma=0.849\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ K=1045.6796 \,L^{-0.849}\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \bbox[#F9F9F9,12px,border:1px solid #c0c0c0]{ K=1045.68\,L^{-0.849} } $$ El coeficiente de determinación \(R^2\) se calcula mediante los valores de la diferencia entre los puntos observados y los puntos estimados. Se define como: $$ R^2=1-\frac{SSE}{SST}\\ \text{ }\\ \text{donde}\\ \text{ }\\ SSE = \text{Suma de Cuadrados de los Errores. }\textit{("Error Sum of Squares")}\\ \text{ }\\ SST = \text{Suma Total de Cuadrados. }\textit{("Total Sum of Squares")} $$ La suma total de cuadrados es: $$ SST= \sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ SST=1.4784312 $$ Esta cantidad representa la variabilidad total de \(\ln{(K)}\) alrededor de su media. Para cada observación: $$ \hat y_i= a + b \ x_i $$ Empresa Ki Observado \(\widehat{K}_i \) Estimado E08 80,3 81,80 E11 75,5 69,63 E17 66,6 67,97 E19 65,1 57,57 E26 54,6 56,62 E32 49,1 47,21 E45 39,7 45,90 E52 34,2 38,38 E54 27,4 27,33 E55 27,1 24,76 De modo que \(R^2\) ajustado: $$ R^2_{\text{ajustado}} = 1- (1-R^2) \frac{n-1}{n-p-1}, $$ donde \(p=1\) es el número de variables explicativas. $$ \implies\\ R^2_{\text{ajustado}} = 1-(1-0.9541644) \frac{9}{8}. $$ Obtenemos: $$ R^2_{\text{ajustado}}=0.948435 \approx94.84\%\\ \text{ }\\ \implies\\ \text{ }\\ \bbox[#F9F9F9,12px,border:1px solid #c0c0c0]{R^2=0.9542} $$ Por tanto, $$ K=1045.68\,L^{-0.84916}\qquad \land \qquad R^2=0.9542 $$ QED//

Nótese que una vez determinada la curva continua y diferenciable es posible derivar la función y calcular la pendiente de la isocuanta en cualquiera de sus puntos. En particular el punto \( L_R \), y su correspondiente coordenada de capital \( K_R=f(L_R) \) (Ver gráfica \( \small {[F_1]} \)).

$$ K=f(L)=1045.68L^{-0.84916}\quad \implies \\ \text{ }\\ \frac{dK}{dL}=-0.84916(1045.68)L^{-1.84916}\\ \iff\\ f'(L)=-0.84916\,\frac{K}{L} $$
De esta manera, la aproximación continua de la frontera empírica no solo permite visualizar la curva, sino también calcular matemáticamente el punto \(R\) asociado a la combinación de factores de mínimo costo.

Video Anexo Matemático Demostraciones
Algebraica - Linearización

 Simple Ejemplo Numérico Cartesiano

Para ilustrar numéricamente las medidas de eficiencia de Farrell, se construye un ejemplo geométrico ficticio y simple en el plano de factores \( L \times K \), con una empresa \(P\) en particular, dentro de la nube de observaciones de la muestra discreta y comparativa \( S \), la cual se situó en un ámbito productivo específico ¹⁸

Gráfica de Ejemplo ~ Puntos Enteros ~ Plano Cartesiano ¹⁹

Se toma el origen:

$$ O=(0,0) $$

y se supone que una empresa observada utiliza la combinación:

$$ P=(60,50) $$

Donde se ha fijado un nivel de producción fijo de producción:

$$ Y=100 $$

Así mismo que, al proyectar radialmente \(P\) sobre la isocuanta eficiente, se obtiene:

$$ Q=(48,40) $$

Obsérvese que \(O\), \(Q\) y \(P\) están sobre la misma dirección radial, dado que:

$$ Q=0,8·P $$
$$\implies$$
$$ (48,40)=0,8·(60,50) $$

Se asume también, - considerando los precios relativos de los factores \(L\) y \(K\)-, que el punto de combinación eficiente de mínimo costo es:

$$ R=(45,35) $$
La configuración sería conceptualmente:

$$ O=(0,0) \quad\longrightarrow\quad R=(45,35)\\ \quad\land\quad \\ Q=(48,40) \quad\longrightarrow\quad P=(60,50) $$

donde \(Q\) y \(R\) pertenecen a la frontera o isocuanta eficiente, mientras que \(P\) representa la situación observada de una empresa relativamente ineficiente.

La distancia entre dos puntos

$$ A=(x_1,y_1), \qquad B=(x_2,y_2) $$
se calcula mediante:

$$ d(A,B)= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $$

- Distancia \(\overline {OP}\)

Como

$$ O=(0,0), \qquad P=(60,50) $$

$$ OP= \sqrt{60^2+50^2} $$

$$ OP= \sqrt{3600+2500} = \sqrt{6100} $$
$$\land$$
$$ OP\approx 78,10 $$

- Distancia \(\overline {OQ}\)

Para

$$ Q=(48,40) $$
$$ OQ= \sqrt{48^2+40^2} $$
$$ OQ= \sqrt{2304+1600} $$
$$ OQ= \sqrt{3904} $$
$$ OQ\approx62,48 $$

- Distancia \(\overline {OR}\)

Para

$$ R=(45,35), $$
$$ OR= \sqrt{45^2+35^2} $$
$$ = \sqrt{2025+1225} $$
$$ = \sqrt{3250}. $$
$$ OR\approx57,01 $$

Siguiendo la representación radial de Farrell:

$$ ET= \frac{OQ}{OP}. $$
Sustituyendo:

$$ ET= \frac{62,48}{78,10} $$
$$ ET=0,80 $$
o expresado porcentualmente:

$$ ET=80\% $$

La empresa ubicada en \(P\) podría, teóricamente, producir el mismo nivel de output utilizando solamente el \(80\%\) de su combinación actual de insumos, manteniendo constante la proporción entre \(L\) y \(K\).

La reducción radial sería:

$$ P-Q=(60-48,\;50-40) $$

$$ =(12,10) $$

Es decir, la empresa podría reducir aproximadamente:

$$ 12\text{ unidades de }L $$
$$\land$$
$$ 10\text{ unidades de }K $$

Una forma intuitiva de expresar la brecha relativa es:

$$ BI_T=1-ET $$
Entonces:

$$ BI_T=1-0,80 $$
$$\land$$
$$ BI_T=0,20=20\% $$

Esto significa que existe una brecha técnica relativa del 20% entre la situación observada \(P\) y la frontera eficiente \(Q\).

También se puede calcular una medida absoluta de la separación geométrica:

$$ PQ= \sqrt{(60-48)^2+(50-40)^2} $$

$$ PQ= \sqrt{12^2+10^2} $$
$$ = \sqrt{244} $$
$$\land$$
$$ PQ\approx15,62 $$
Esta distancia puede utilizarse como una medida geométrica de la brecha absoluta de ineficiencia:

$$ \text{Brecha absoluta}=PQ\approx15,62 $$

en unidades del espacio de factores \((L,K)\).

La eficiencia de precios puede estimarse mediante:

$$ EA= \frac{OR}{OQ} $$
Sustituyendo los valores:

$$ EA= \frac{57,01}{62,48} $$

$$ EA\approx0,9124 $$
$$\lor$$
$$ EA\approx91,24\% $$

Una vez que la empresa ha alcanzado la frontera técnica en \(Q\), todavía podría mejorar la combinación relativa de los factores para desplazarse hacia \(R\), que representa la combinación de mínimo costo determinada por los precios relativos de \(L\) y \(K\).

La ineficiencia asignativa sería:

$$ 1-EA = 1-0,9124 $$

$$ \approx8,76\% $$
La eficiencia económica de Farrell es:

$$ EE= ET\times EA $$

$$ EE= 0,80\times0,9124 $$
Así:

$$ EE\approx0,7299 $$
o, equivalentemente:

$$ EE\approx72,99\% $$
El mismo resultado se obtiene directamente mediante:

$$ EE= \frac{OR}{OP} $$
$$\implies$$

$$ EE= \frac{57,01}{78,10} $$
$$ EE\approx0,7299 $$

Medida	Fórmula	Resultado
Distancia al punto observado	\(OP\)	\(78,10\)
Distancia a la frontera radial	\(OQ\)	\(62,48\)
Distancia al mínimo costo	\(OR\)	\(57,01\)
Brecha geométrica	\(PQ\)	\(15,62\)
Eficiencia técnica	\(ET=\frac{OQ}{OP}\)	80,00%
Ineficiencia técnica	\(1-ET\)	20,00%
Eficiencia asignativa	\(EA=\frac{OR}{OQ}\)	91,24%
Ineficiencia Precios	\(1-EA\)	8,76%
Eficiencia económica	\(EE=\frac{OR}{OP}\)	72,99%

La relación fundamental queda:

$$ EE=ET \times EA $$

y numéricamente:

$$ 0,7299 = 0,8000\times0,9124 $$

Si \(Q\) se define como la proyección radial de \(P\) sobre la isocuanta, como en el modelo original de Farrell, la distancia \(PQ\) representa la brecha geométrica radial respecto de la frontera. Sin embargo, si se desea definir la brecha como la distancia cartesiana mínima entre \(P\) y la curva isocuanta, entonces \(Q\) debería calcularse como el punto de la curva que minimiza:

$$ d(P,\text{isocuanta}) = \min_{\small{(L,K)\in\mathcal I}} \sqrt{(L-L_P)^2+(K-K_P)^2} $$

Esta expresión \(d(P,\text{isocuanta})\) propone un enfoque cartesiano elemental, que debe distinguirse de la proyección radial utilizada originalmente por Farrell.

Este procedimiento permite comprender, desde una perspectiva puramente geométrica, otro concepto de ineficiencia: la distancia mínima entre el punto observado \(P\) y la curva isocuanta eficiente \(I\). Dicha distancia representa la menor brecha geométrica que separa a la unidad observada de la frontera eficiente.

(Ver Distancia de un Punto a una Recta )

 Nota matemática acerca de la Isocuanta.

La función de producción es de la forma.  $z=f(x,y)$, simplificando  $z=xy$, donde se asigna un nivel de producción constante $c$.

Es decir, sea $z=c$, donde $c \gt 0$ es constante en $\mathbb R$. En otros términos, se hace un corte en $z=c$ y queda la curva en el plano cartesiano llamada isocuanta, donde toda combinación o producto de los factores $x$  e $y$ es igual a $c$, generándose una  curva con infinitas posibilidades.