El presente artículo, - que proviene de la publicación Matrices de Pauli y Algebra de Lie ⁸⁹, consta de dos partes I y II, en el medio un desarrollo algebraico que describe la transición mediante cálculo diferencial entre ambas partes:

I.- Enfoque Geométrico

↕ Enfoque Infinitesimal

II.- Enfoque Matriz Exponencial

Los tres enfoques convergen a la deducción de la matriz real $M_{2\times 2}$, - sobre un ángulo de rotación $\alpha$ en torno a un origen o centro de rotación -, que constituye un Grupo de Lie:


$$ M(\alpha)_{2\times 2}=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \\ \end{pmatrix} $$

El primer enfoque deduce la matriz $M$ en forma geométrica en el plano utilizando trigonometría y ha sido transcrito desde la exposición publicada en el video "Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie".

El segundo enfoque Matriz Exponencial, deduce la matriz $M$ desde la constante universal $e ^{A}$, i.e. con exponente matricial, desarrollado con series de Taylor hasta su demostración.

Para ese efecto, se ha agregado un acápite intermedio "Introducción Enfoque Infinitesimal~Taylor" entre los enfoques descritos en los capítulos I y II respectivamente.

Desarrollo que explica dicha transición con la propiedad $ A + A^{T}=0$, i.e. con la matriz antisimétrica aplicada a la transformación $R:M_{2 \times 2}\longrightarrow e^{A}$, derivadas, diferencias incrementales de rotación infinitesimal y otras desagregaciones.

Donde la matriz $A$:

$$A=\large \epsilon\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}\qquad\text{, } \epsilon \neq 0 \quad (\epsilon \longrightarrow 0)$$

Los Grupos de Lie aquí tratados son continuos de dimensión infinita o grupos continuos de simetría con una estructura de variedad diferenciable⁸¹.

De esa manera, con ambos enfoques y el paso intermedio se conforma una introducción básica y práctica a los Grupos de Lie, cumpliendo con lo propuesto, cuyo objetivo es vislumbrar o intuir el tremendo equipamiento matemático⁹⁷ que sustenta los operadores de la computación cuántica.

Estas matrices de rotación pasiva son cuadradas, pueden ser de tamaño $n\times n$ y son ortogonales. Sus elementos de entradas son números reales. Su característica central es que su determinante es igual a uno. Esto implica que la matriz opera girando el sistema de referencia sobre un vector, donde esta magnitud física permanece invariante. Estas matrices se utilizan en los operadores más comunes de la computación cuántica⁹⁶ y constituyen el grupo especial ortogonal o Special Orthogonal $SO(n)$.

Figura 1:Rotacion Pasiva sobre el Plano XYZ

Dicho esto, damos comienzo a esta sección anexa y compacta acerca del Grupo de Lie en el espacio euclidiano real $\mathbb R$, cuyos orígenes textos, imágenes, animaciones, etc. fueron extraídas del documento Matrices de Pauli y Algebra de Lie y su correspondiente síntesis publicada en el video en YouTube del mismo nombre, donde se describe con más detalles que un grupo de rotación en torno a un punto fijo, que constituye un Grupo de Lie. Este concepto se entiende como una transformación del sistema de coordenadas bajo el espacio vectorial de Hilbert³, con sus bases ortonormales.

A su vez, la base de ese documento es el trabajo central Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica.

Es decir, la presentación a continuación es complementaria al artículo y video Matrices de Pauli y Algebra de Lie, dado que operando las matrices de Pauli y extendiendo el conjunto hacia las nuevas matrices resultantes se formó un grupo especial unitario que $SU(2)$⁸⁷.

Desde ahí pasamos mediante un isomorfismo hacia los grupos de rotación en los reales. Que es lo que se muestra en esta presentación, como un desarrollo básico para la comprensión de los grupos de Lie.

Figura 2: Transformación $\mathbb C\longrightarrow \mathbb R$

I.-Enfoque Geométrico

A continuación, intentaré mostrar que la matriz $M_{2\times 2}$, definida en los reales como se indica en $[L1]$, es un Grupo de Lie de rotación ortogonal especial de dimensión $2$, $SO(2)$.

Clasificación Grupos SO(n)

Es decir, $G$ es el conjunto de todas las matrices de $M_{2\times 2}$ ortogonales que pertenecen al 'Special Ortogonal of order 2' del espacio euclídeo tridimensional (Esfera de Bloch) con determinante igual la unidad.

$$ G=\unicode{123}M\in SO(2)/Det(M)=1 \land M^{T}=M^{-1}\unicode{125} $$

$$ M_{2\times 2}= \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \\ \end{pmatrix} \qquad\quad [L1] $$

Incluir esta explicación complementaria y anexa a la exposición de Matrices de Pauli y Algebra de Lie, tiene cierta importancia didáctica, dado que es un enfoque geométrico en el plano utilizando trigonometría.

Figura 3: Diagrama Base Deducción $M$
(Ver Desarrollo Deducción)

Y con esa base se allana el camino para extenderse a grupos de Lie con matrices de dimensión $n \times n$, como asimismo con valores infinitesimales y límites (Ver más adelante $M_{n \times n}$).

Estamos interesados en la operación central que ejecuta una rotación de un vector $\overrightarrow{OP}$, en el plano $XY$. Justamente al aplicar este operador matricial $M$ sobre un ángulo $\alpha$ se obtiene un vector girado $X'Y'$, pero el giro es desde el punto de vista del observador no del vector propiamente tal.

Figura 4: Transformación $MX=X'$

Lo interesante es que la simple matriz $M$ conformada por las funciones trigonométricas básicas senos y cosenos, genera una rotación del plano, donde gira el sistema de coordenadas con invariabilidad de la métrica.

Es decir, en todo momento la longitud del objeto, - que es rotado-, permanece inalterado.

Figura 5: $\overrightarrow r$ Invariante

En otras palabras, la operación de rotación no alarga ni acorta el objeto y lo transforma en una variedad real. Es decir, en un grupo diferenciable infinito y continuo.

Detrás de esa extensión, está la rotación de un vector $\overrightarrow{OP}$ conserva las propiedades principales hacia una clase de conjuntos más amplia compuesta por una clase infinita de uniones de elementos.

Figura 6: Rotación del Plano ~ Preserva $\overrightarrow r$

$$\lim_{\alpha\to 0}M(\alpha)=I\\ x'=r·cos(\alpha + d\alpha)\\ y'=r·sin(\alpha + d\alpha) $$
No olvidar que las funciones trigonométricas senos y cosenos, son expandibles como series de Taylor con ángulos infinitesimales.

$$sin(\alpha)=\frac{1}{1!}\alpha^1 - \frac{1}{3!}\alpha{^3} + \frac{1}{5!}\alpha^{5}-\frac{1}{7!}\alpha^{7} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\alpha^{2n+1}\quad \forall \alpha \in \mathbb R \qquad[L1.1]$$
$$cos(\alpha)=1 - \frac{1}{2}\alpha^{2} + \frac{1}{4!}\alpha^{4} + -\frac{1}{6!}\alpha^{6}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n!}\alpha^{2n}\quad \forall \alpha \in \mathbb R \qquad[L1.2]$$

El conjunto de estas matrices reales $M_{2\times 2}$ en el plano son un grupo, dado que cumplen con todas las propiedades exigidas. ⁸⁰.

Son un conjunto cerrado. Son asociativas, i.e. cualquier rotación en cierto sentido en torno un eje puede ser invertida con una rotación igual en sentido inverso.

Figura 7: Rotación por Segmentos Infinitesimales $d\alpha$

Esto explica que existe un neutro, - que es la matriz identidad $I$ -, y que para cada elemento existe un inverso.¹²⁰.

Desde esta matriz $M_{2x2}$, con un pequeño cambio en la notación del Algebra de Matrices se puede extender el concepto de Grupo de Lie en dimensiones $n \times n$.

Esta matriz, corresponde a las características de Matrices de Rotación Pasiva que son parte del Grupo Especial $SO(2)$⁸². Es decir, Grupo Especial Ortogonal de dimensión $2$.

En este caso, transforma un vector del plano $XY$ hacia el plano $X'Y'$ rotado en un ángulo $\alpha$.

$$ M: XY\longrightarrow X'Y' $$
Este operador $M$ corresponde al conjunto de matrices de $2\times 2$ definida sobre los reales, con las operaciones binarias ordinarias.

El conjunto de estas matrices $M$ constituye un Grupo de Lie, que vamos a ir mostrando paso a paso.

Figura 8: Diagrama Geométrico $\longrightarrow M$

Vamos a deducir, - desde la figura 2 -, aplicando trigonometría, cómo se estructura la transformación lineal $M$, compuesta simplemente por los elementos senos y cosenos.

Y por qué el conjunto de todas las matrices de la forma $M_{2x2}$, dotado de las operaciones binarias de adición ordinaria de vectores y multiplicación de matrices, constituye un Grupo de Lie.

Como veremos este operador simple de rotación $M$, tiene las siguientes características:

i) Su determinante es 1. Es decir, diferente de 0, por tanto tiene una inversa.

ii) Su transpuesta es igual a la inversa, esto implica que:

iii) $M$ es ortogonal, dado que una matriz ortogonal es una matriz real, cuya inversa es igual a su transposición.

iv) La transformación $M$ preserva invariante la métrica con su magnitud física de $\overrightarrow r$, el radio del origen al punto $P$.

Es decir, la magnitud física de $\overrightarrow r$ es la misma, tanto en el plano $XY$ como en el en el plano $X'Y'$.

Ahora, calculemos estas características i), ii), iii) y describamos iv), que hemos señalado para la matriz $M$.

La determinante de $M =1$, diferente $0$. Calculemos entonces, la determinante de la matriz $M$.

$$ Det(M)= \begin{vmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) &cos(\alpha) \\ \end{vmatrix} =$$ $$ cos(\alpha)cos(\alpha)-(-sin(\alpha)sin(\alpha)= $$ $$ cos^{2}(\alpha) + sin^{2}(\alpha)=1 $$

Es decir, $Det(M)=1$ demostrándose el punto i).

Ahora, calculemos la transpuesta de $M$

Esta matriz es la transpuesta, vamos a multiplicar directamente la transpuesta $M^{T}$ por la matriz $M$ y si nos da la Identidad implica que $M^{T}$ es la Inversa.

Se puede calcular la inversa por diferentes métodos existentes, pero a nosotros nos interesa que la transpuesta de la matriz $M$ sea igual a la inversa.

$$ MM^{T}= \begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\qquad\quad [L2.1] $$

Entonces, multiplicando $M^{T}M$ resulta la matriz identidad. Esto implica que la transpuesta $M^{T}$ es la matriz inversa. De modo que tanto sus productos son igual a la matriz identidad.

$$M^{T} \times M^{-1} = M^{-1}M^{T} =I\qquad \quad [L3]$$
Por tanto, hemos demostrado los puntos ii) y iii)

A continuación, abordamos la característica del punto iv), que corresponde a una Transformación Pasiva, la cual es un cambio en el sistema de coordenadas, en que el objeto se describe por diferentes observadores, con un cambio coordenadas o cambio de base

Dicho de otra manera, en este caso de rotación, una Transformación Pasiva se refiere a la descripción de la misma métrica, - que es este $r$ o radio-, en dos sistemas de coordenadas diferentes.

Por otro lado, cuando se ve $M$ como una transformación pasiva, el vector inicial de $r$ se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores de base se giran. Está cuarta condición de - que este radio, está distancia del origen al punto $P$ -, permanezca invariante. Es decir, que rotamos el sistema en el plano con estas matrices de $2\times 2$.

Entonces se gira el sistema, pero esta magnitud permanece invariante. Esta es una condición necesaria que se requiere para construir el Grupo de Lie.

Un Grupo de Lie con esta caracterización, puede concebirse físicamente como un conjunto de transformaciones infinitesimales. Es decir, infinito y continuo cuyas rotaciones se dan sobre el espacio euclídeo, representadas por el conjunto de matrices ortogonales de $2\times 2$ y con determinante igual a la unidad.

Figura 9: Diagrama Triángulos $OPQ$ y  $OPT$

Figura 9.1: Sistema Coordenadas x'y' Diagrama Sólo Triángulo $OPQ$ $x'=\overline{OQ}=\vec r cos(\beta) \land y'=\overline {PQ}=\vec r sin(\beta) $

Figura 9.2: Sistema Coordenadas xy Diagrama Sólo Triángulo $OPT$ $x=\overline{OT}=\vec r cos(\alpha + \beta) \land y=\overline{PT}=\vec r sin(\alpha + \beta)$

A continuación, deduciremos Geométricamente la matriz $M$, desde el diagrama que ilustra la rotación $\mathbf {\alpha}$ utilizando funciones trigonométricas.

Comenzaremos diagramando el plano cartesiano $XY$ e ilustraremos una rotación pasiva del punto $P$. Es decir, haré un cambio en el sistema de coordenadas desde un observador que está desplazado en un ángulo $\alpha$ con un sistema de coordenadas $X'Y'$.

Dicho de otra manera, el punto $P$ queda donde mismo con la misma métrica, pero en este caso se realiza una rotación del plano que en torno al mismo origen, con un sistema de coordenadas diferentes.

Entonces, sobre el plano rotado $X'Y'$ se observa el triángulo $OPQ$, desde su ángulo $\beta$ se proyecta en el cateto adyacente $x'$ igual a $r·cos(\beta)$ y el cateto opuesto es que $y'$ es $r·sin(\beta)$

$$x'=r·cos(\beta)$$	$\qquad[L4]$
$$y'=r·sin(\beta)$$

Luego, sobre el plano $XY$ se observa el triángulo $OPT$, desde su ángulo compuesto $(\alpha + \beta)$, se proyecta el cateto adyacente con las coordenadas $x$ igual a $r·cos(\alpha + \beta)$ la del cateto opuesto y igual $sin(\alpha + \beta)$.

$$x=r·cos(\alpha + \beta)$$	$\qquad [L5]$
$$y=r·sin(\alpha + \beta)$$

A este último sistema de coordenadas, le aplicamos una fórmula de las identidades trigonométricas fundamentales del coseno y seno sobre la suma de dos ángulos, y obtenemos las siguientes dos expresiones:

$$ i)\quad r·cos(\alpha+\beta)=r·cos(\alpha)cos(\beta))- r·sin(\beta)sin(\alpha)\\\\ $$	$[L5.1]$
$$ ii)\quad r·sin(\alpha+\beta)=r·cos(\alpha)sin(\beta))+ r·cos(\beta)sin(\alpha) $$

Donde se desagregan el seno y el coseno en forma individual en función de los ángulos $\alpha$ y $\beta$

Ahora, la tarea es dejar ambas expresiones solo en función del ángulo $\alpha$.

Entonces comenzaremos a utilizar las descripciones tanto $x'$ como $y'$ y las vamos a ir sustituyendo de la siguiente manera:

Figura 10: Sustitución de $x', y'$

Se obtuvo la sustitución en función de $\alpha$, en tanto $x'=r·cos(\beta)$ y $y'=r·sin(\beta)$. De donde se configura el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$ i)\quad x=r·cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)y' - sin(\alpha)y'\\\\ $$	$[L5.2]$
$$ ii)\quad y=r·sin(\alpha+\beta)=cos(\alpha)y'+ sin(\alpha)y' $$

Luego ponemos estas ecuaciones en forma matricial. De donde surge la matriz $M$, la cual es la transformación del plano $XY$ hacia el plano $X'Y'$, como lo vimos en la caracterización, en la sección anterior.

$$X=MX'$$

$$X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} \qquad\quad [L6] $$

Así mismo, utilizando la expresión $[L2]$ se ilustra la transformación inversa $M^{-1}=M^{T}$:

De esa manera utilizando la geometría sobre el plano euclidiano, hemos deducido la matriz $M$, cuya caracterización demuestra que es un Grupo de Lie $SO(2)$. Es decir, del grupo especial ortogonal de dimensión dos, de la forma:

$$ G=\unicode{123}M\in SO(2)/Det(M)=1 \land M^{T}=M^{-1}\unicode{125} $$

El objetivo de lo descrito en los párrafos previos ha sido enfocar un Grupo de Lie como un objeto geométrico con una forma dibujable y didáctica, aunque los Grupos de Lie del álgebra abstracta no es siempre posible visualizarlos como en los ejemplos anteriores.

Se continuará con la representación de las matrices en SO(3) que está estrechamente relacionado con los visto en SO(2), para enseguida pasar a esbozar el marco general en el que deben situarse los grupos de matrices $n \times n$ en SO(n).

- Matriz de Rotación $M \in SO(3)$

Para comenzar, abordemos la extensión mediante un operador $M_{3 \times 3}(\beta)$ en el plano euclidiano que al ser aplicado a un vector aumentado de coordenadas rectangulares $(x_1,x_2,1)$, - localizado en torno a un punto de origen $0$ -, lo hace rotar en un ángulo $\beta$ hacia un vector $X'$ de coordenadas $(x_1',x_2',1)$.

Figura 3: Matriz en $\mathbb R^3$ que Genera una Rotación Pasiva

En otros términos, se aplica el mismo procedimiento previo de $SO(2)$, i.e. una matriz aumentada $M_{3 \times 3}$ que multiplicada por el vector $X$ obtenga estas nuevas coordenadas en $X'$:

Este conjunto de matrices cumple las condiciones de rotación en el plano euclidiano y constituye un Grupo de Lie en $SO(3)$.

Figura 3.1: Rotaciones Independientes en Torno a Ejes ¹²¹

En el espacio $\mathbb R^3$ se especificará la matriz que gira un vector por un ángulo alrededor de un eje del espacio tridimensional. Se utilizarán las matrices fundamentales, las cuales son rotaciones que determinan cada par de ejes ortogonales.

Se recurre a la matriz aumentada sobre el espacio euclidiano de tres dimensiones, donde las coordenadas cartesianas de las matrices fundamentales $M_{x}(\alpha),M_{y}(\beta),M_{z}(\gamma)$, generan las rotaciones se expresan a continuación:


$$M_{x}(\alpha)= \begin{pmatrix} \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0}\\ \bbox[yellow]{0} & cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ \bbox[yellow]{0} & -sin(\alpha) & cos(\alpha)\\ \end{pmatrix} $$

$$M_{y}(\beta)= \begin{pmatrix} cos(\beta) & \bbox[yellow]{0} & -sin(\beta) \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1} & \bbox[yellow]{0}\\ sin(\beta) & \bbox[yellow]{0} & cos(\beta)\\ \end{pmatrix} $$

$$M_{z}(\gamma)= \begin{pmatrix} cos(\gamma) & sin(\gamma) & 0 \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0 \\ \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{0} & \bbox[yellow]{1}\\ \end{pmatrix} $$

Las rotaciones se realizan sobre los ejes de coordenadas Cartesianas en el espacio tridimensional euclidiano, se identifican los ángulos de rotación en torno a cada eje, tomando como referencia el giro en torno al eje $z$ como $\gamma$, el giro en torno al eje $y$ como $\beta$, y el giro en torno al eje $x$ como $\alpha$.

Nótese que la matriz $M_{2 \times 2}\in SO(2)$ se aumenta introduciendo los vectores canónicos: en el caso $M_{x}(\alpha)$, se introdujo $\vec i$ en la primera fila y primera columna; en $M_{y}(\beta)$ se introdujo $\vec j$ en la segunda fila y segunda columna; y en $M_{z}(\gamma)$ se introdujo $\vec k$ en la tercera fila y tercera columna.

Desde ahí se obtiene:

• $Mx(\alpha)=Rx(\alpha)$ rota el plano $yz$ alrededor del origen por un ángulo $\alpha$.


• $My(\beta)=Ry(\beta)$ rota el plano $xz$ alrededor del origen por un ángulo $\beta$.


• $Mz(\gamma)=Rz(\gamma)$ rota el plano $xy$ alrededor del origen por un ángulo $\gamma$.

Las transpuestas de las matrices son sus respectivas inversas. Es decir, son ortogonales:

$$M_x(\alpha)(M_x(\alpha))^T=(M_x(\alpha))^T M_x(\alpha)=I$$

$$M_x(\beta) (M_y(\beta))^T=(M_y(\beta))^T M_y(\beta)=I$$

$$M_x(\gamma)(M_z(\gamma))^T=(M_z(\gamma)^T M_z(\gamma)=I$$

De modo que las tres matrices al multiplicarlas por sus transpuestas son iguales a la matriz identidad $I$.

Por tanto, cumplen con la condición de ortogonalidad en lo reales. En efecto, todas aquellas matrices ortogonales cuyos elementos son números reales, la transpuesta es igual su inversa. Esto último, - tal como se demuestra -, es equivalente a la afirmación de que la métrica permanece invariante.⁹⁵

Nótese que para demostrar que el conjunto de matrices $M$ constituye un grupo de Lie, se puede inducir desde el desarrollo que se realizó geométricamente en $SO(2)$, donde sólo es necesario efectuar rotaciones en torno a dos de los ejes $x$ e $y$, cada uno en forma independiente.(Ver Deducción Geométrica de $M$)

La rotación de objetos en un espacio tridimensional se realiza desde $SO(2)$, puesto que se está rotando el objeto en torno al eje $z$, el cual apunta hacia arriba, i.e. se está rotando un objeto sólo en dos dimensiones en el plano $xy$.

$SO(2)$ Impar en $\mathbb R^3$ por Tramos de $\frac{\pi}{4}$

En caso de tener que trabajar con matrices complejas, i.e. matrices unitarias que contengan números imaginarios (dentro de los espacios de Hilbert), entonces la ortogonalidad se muestra mediante la igualdad de la transpuesta de su conjugado complejo, también denominada "daga" de la matriz y denotada con el símbolo ⁺.

Sea $X \in M_{n \times n}(C)$ entonces $X^+=(X^{*})^{T}$ es la traspuesta del conjugado de $X$ matriz.

$$\Rightarrow \quad X^+=X^{-1}$$

- Matriz de Rotación $M \in SO(n)$

El paso del grupo de Lie $(G,·)$ en el plano $\mathbb R^{2}$ y $\mathbb R^{3}$ hacia un espacio multidimensional es una estructura diferenciable de forma natural, es un espacio proyectivo extendible a matrices de $n\times n$ aplicando las mismas propiedades que hemos desarrollado previamente.(Ver Características).

Sea $M_{n\times n}\in SO(n)$, tal que $X=MX'$:

Donde la matriz $M_{n\times n}$ tiene la misma caracterización que se determinó para $M_{2\times 2}$, i.e:


$$ G=\unicode{123}M\in SO(n)/Det(M)=1 \land M^{T}=M^{-1}\unicode{125} $$

Por tanto, $\Rightarrow M^{T}M=M^{T}M=I$, de donde la ortogonalidad de $M$ explica la métrica invariante. De modo que $S^{2}=X^{T}X=(X')^{T}X$ ⁹⁴ La métrica invariante es $S^{2}=XX^{T}=X'(X')^{T}$:

$$ \mathtt{ S^{2}=\\ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \text{...} \\ x_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_{1} & x'_{2} & x'_{3} & \text{...} & x'_{n} \\ \end{pmatrix} =\\ \begin{pmatrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ x'_{3} \\ \text{...} \\ x'_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'_{1} & x'_{2} & x'_{3} & \text{...} & x'_{n} \\ \end{pmatrix} } $$

$$S^{2}=\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^n (x'_i)^2$$
En efecto:

$X=MX'$

$(X)^{T}=(MX')^{T}= (X')^{T}M^{T}\qquad\longleftarrow \text{ Multiplicando por }X=MX'$95

$X^{T} X=(X')^{T} \underline{\mathbf{M^{T}M}}\text{ }X'\qquad \longleftarrow \text{Dado que } M^{T}M =I$

$\Rightarrow\quad X^{T} X=(X')^{T}X'=S^2$

Por tanto, que la transpuesta de una matriz real cuadrada $n \times n$ sea igual a su inversa, i.e. $M^{T}=M^{-1}$ y que la magnitud del vector permanezca invariante bajo una rotación de las coordenadas, implica directamente que $M$ es ortogonal.

En general, un conjunto de transformaciones invertibles que dejan una propiedad invariante siempre define un grupo.

Retomemos la matriz $M(\alpha)_{2\times 2}$, que se definió en $[L1]$, haciendo un cambio de notación y designando la transformación como $R(\theta)$, a fin de utilizar u homologar la notación de los enfoques de rotación infinitesimal más comunes abordados en la Matemática-Física ⁹⁹ .

Rotulemos esta matriz $R(\theta)\in SO(2)$ como $[L1.1]$, i.e. es equivalente a $M(\alpha)_{2×2}$ ortogonal que pertenece al "Special Ortogonal of Order 2" y que representa las transformación para rotaciones pasivas en el plano:


$$ R(\theta)= \begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{pmatrix} \qquad\quad [L1.1] $$

Rotación Plano ~ Cambio Sistema Coordenadas

La matriz $R(\theta)$ produce la misma rotación pasiva de un ángulo $\alpha$ sobre el sistema de coordenadas cartesianas visto previamente y constituye un Grupo de Lie de la forma:

$$G=\unicode{123}R\in SO(2)/Det(R)=1 \land R^{T}=R^{-1}\unicode{125}\qquad\quad [L1.2] $$
Luego, sea $\theta$ un ángulo definido en el intervalo real $-\pi\le\theta\le \pi$ y sea $n\in N$ un número natural, donde $\theta=n (\frac{\theta}{n})$ , i.e. dividimos el ángulo en $n$ fracciones. Aplicando límites a la fracciones $(\frac{\theta}{n})$ se tiene que:

$$n \longrightarrow \infty \Rightarrow \frac{\theta}{n} \longrightarrow 0$$
En otros términos:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{\theta}{n})}\longrightarrow R[\theta]=\\R \begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\end{bmatrix}^{n}\approx\\ \lim\limits_{n\to\infty}R\begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\end{bmatrix}^{n}$$

De las características de esta matriz (Ver $[L3]$), tenemos que $M^{T} \times M^{-1} = M^{-1}M^{T} =I$. Esta propiedad simplemente admite aplicar la ley de composición:¹⁰⁰

$\theta=\sum_{i=1}^n (\frac{\theta}{n})$, o que el ángulo se puede descomponer en pequeños ángulos positivos, cuya suma es igual a $\theta$

Efectivamente, aplicando un concepto fundamental del Cálculo Diferencial decimos: Rotar $n$ veces un ángulo $\large{(\frac{\theta}{n})}$ es lo mismo que rotar un ángulo $\theta$.

Ilustra un Rotación Infinitesimal

Así mismo si $\theta \longrightarrow 0$ entonces los valores de $cos(\theta)\longrightarrow 1$ y $sin(\theta)\longrightarrow 0$, cuyos elementos conforman $R(\theta)$.

Sea $ \epsilon=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{\theta}{n})$, esto significa que la matriz de rotación $R(\epsilon)\longrightarrow (I+A)$. Es decir, existe una matriz $A$ infinitesimal del mismo orden que completa la igualdad en el límite. Este supuesto de aproximación es fundamental¹⁰¹ para la transformación en potencias de $n\in N$ la rotación infinitesimal.

De modo que la matriz $R$ tiende a la matriz Idéntica más una matriz Infinitesimal del mismo orden.

Expresión que asignaremos como $R(\epsilon)\approx(I + A)$, donde $A$ es la matriz conformada por valores reales infinitesimales. Por tanto, se asumirá que valores como $\require{cancel}\cancelto{0}{A^2},\cancelto{0}{A^3},\dots \cancelto{0}{A^n}$ son cero. (Valores muy pequeños menores que $1$. Además, se comprobará que $A$ es Antisimétrica.):


$$ R(\epsilon)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \\ \end{pmatrix} =I+A\qquad, \text{ donde cada uno de }\epsilon_{ij}\longrightarrow 0\quad \forall i,j\in N $$

Nótese que la matriz $A$ es casi la matriz $\mathbb 0$, pero $A\neq 0$. Por tanto diremos que realizar una rotación $R$ sobre un ángulo pequeño $\large \epsilon$ se puede expresar como la matriz Idéntica más una matriz de la forma de $A$.


$$A =\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \\ \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
Luego,

$$ R\begin{bmatrix}\Bigl(\frac{\theta}{n}\Bigr)\\ \end{bmatrix}^n =(I+A)^n\qquad\quad L[6.2] $$
$R(\epsilon)=(I + A)$ es una rotación pasiva infinitesimal y continua que cumple con la propiedad de invariabilidad, donde

$$R^{T}=R^{-1}$$
$$\Rightarrow$$
$$R^{T}·R=I$$
$$(I + A)^{T}(I + A)=I$$
$$\Rightarrow (I^{T}+A^{T})(I+A)=I$$
$$\require{cancel}\Rightarrow (\cancelto{I}{I^{2}}+I·A+A^{T}·I+ \cancelto{0}{A^{2}}=I$$
$$\Rightarrow (I·A + A^{T}·I)= 0$$

Por tanto, la matriz $A$, - obtenida bajo las características de Grupo de Lie $[L1.2]$ -, es Antisimétrica, dado que $(A + A^{T})= 0$ es su definición. Si aplicamos, la definición sobre una matriz real de $2\times 2$ entonces se obtiene una matriz de la forma siguiente:

$$ A=\begin{pmatrix} 0 & -\epsilon \\\epsilon & 0 \\ \end{pmatrix}\qquad\text{, donde } \epsilon \neq 0 \quad (\epsilon \longrightarrow 0)$$
Factorizando por $\large \epsilon$ se obtiene:
$$ A=\large \epsilon\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$$\text{Ahora, sea}\quad J=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

$\Rightarrow$ $A=\epsilon·J$ (Ver Enfoque Matriz Exponencial o Video: II.- Grupo de Lie~Enfoque Exponencial)

Este mismo concepto de matriz antisimétrica $A$, es extendible a matrices de $n \times n$. Es decir, se aplica para matrices en el espacio multidimensional para la expresión $[L6.2]$.

Ahora consideremos esta expresión $[L6.2]$, desagregado en sus matrices extendidas:

$$ \begin{bmatrix}R(\frac{\theta}{n})\end{bmatrix}^n=(I+A)^n =\left[ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} +(\frac{\theta}{n}) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{array} \right]^n=(I + (\frac {\theta}{n})·J)^n $$
De donde se concluye que:
$$ A=(\frac{\theta}{n})J=\epsilon J $$
En otras palabras, cuando $\theta\longrightarrow 0 $, i.e. sea muy pequeño, entonces utilizaremos la siguiente igualdad:

$$A=\theta J\qquad\quad[L6.3]$$
Nota.- Más adelante cuando se aplique el polinomio de Taylor, se recurrirá a

$A^2=\theta^2 J^2\text{, }A^3=\theta^3 J^3\text{, } A^4=\theta^4 J^4\text{, }\dots A^n= \theta^n J^n$

A continuación, veremos la recursividad de las derivadas de $[R(\theta)]^n=(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$, a fin de aplicar la Serie de Taylor, que se expresa con la siguiente formulación en serie de potencias:

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{\small{(n)}}(\theta)}{n!}(x-\theta)$$

Recordar que la Serie de Taylor de una función real o compleja $f(x)$ es infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo, -en este caso-, se evalúa en $\theta=0$. La expresión $f^{\small{(n)}}$ denota la n-ésima derivada de la función evaluada $\theta$. Nótese que cuando la Serie de Taylor se evalua en $\theta=0$, la serie es también denominada: Serie de Maclaurin.

Comencemos evaluando la función de rotación $[R(\theta)]^n=(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$ en el origen $0$, i.e. $\theta=0$:

$$[R(0)]^n=(I+\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{0}{n})J)^n}=I^n=\mathbf{I}$$

Ahora derivemos $n$ veces la función de rotación $[R(\theta)]^n$, i.e. la expresión $(I+(\frac{\theta}{n})J)^n$, donde se debe aplicar la regla de la cadena, cuya variable es $\theta$ y los otros términos son constantes, de modo que la derivada interna de $\large{\frac {d\theta}{d\theta}}=\theta^{'} =1$

$$ \frac{dR}{d\theta}=R^{'}(\theta)=\\n(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-1}(\frac{J}{n})=\\(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-1})J\\\Rightarrow\mathbf{ R^{'}(0)=I·J = J} $$

$$ \frac{d^{2}R}{d\theta}=\\R^{''}(\theta)=n(n-1)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-2}(\frac{J}{n})^2\\\Rightarrow \mathbf{R^{''}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)\frac{J^2}{n}} $$

$$ \frac{d^{3}R}{d\theta}=\\R^{'''}(\theta)=n(n-1)(n-2)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-3}(\frac{J}{n})^3\\\Rightarrow \mathbf{R^{'''}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2)\frac{J^3}{n^{2}}} $$

$$ \frac{d^{4}R}{d\theta}=\\R^{iv}(\theta)=n(n-1)(n-2)(n-3)(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-4}(\frac{J}{n})^4\\\Rightarrow \mathbf{R^{iv}(0)=\\\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2))(n-3)\frac{J}{n^{3}}} $$

$$\dots\dots$$

Calculemos entonces la enésima derivada de la serie:

$$ \frac{d^{\mathit (n)}R}{d\theta}=\\R^{\mathit (n)}(\theta)=n(n-1)(n-2)(n-3)\\(I+(\frac{\theta}{n})J)^{n-4}\dots (\frac{J}{n})^n \\\Rightarrow \mathbf{R^{\mathit (n)}(0)=\\\underbrace {\require{cancel}\cancelto{}{n}(n-1)(n-2))(n-3)\\(n-4) \dots} \frac{J^n}{n^{n-1}}} $$

Luego al operar el polinomio en $n$ de la enésima derivada $R^{\mathit (n)}(0)$, se obtiene que el coeficiente principal igual a $1$ del numerador del término $n^{n-1}$, es igual que el coeficiente principal polinomio del denominador que es también $1$. Eso implica que el límite al infinito es $1$, dado que ambos polinomios tienen el mismo grado. Entonces,

$$ \lim\limits_{n\to\infty} {R^{\mathit (n)}(0)} =\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{1}{{\frac{(n-1)(n-2))(n-3)\dots}{n^{n-1}}} J^n}=\mathbf{J^n} $$
Por tanto, bajo el concepto de sucesión convergente o espacios métricos continuos e infinitesimales, se irán sustituyendo en el próximo polinomio de Taylor las derivadas por los siguientes términos con potencias de la matriz $J$:

$$\unicode{123} R(0)=I,\text{ } R^{'}(0)=J,\\\text{ } R^{''}(0)=J^2,\\ \text{ } R^{'''}(0)=J^3, \text{ }R^{iv}(0)=J^4,\\\dots ,R^{\mathit (n)}(0)=J^n\unicode{125}$$

Aplicando el desarrollo de polinomio con Serie de Taylor,- en torno al origen $0$ del intervalo $-\pi \le \theta \le \pi$-, a la función de rotación Infinitesimal $R(\theta)$, se obtiene lo siguiente:

$$R(\theta)= \\R(0)+ R(0)'(\frac{\theta}{1!}) + R(0)''(\frac{\theta^2}{2!}) + \\R(0)'''(\frac{\theta^3}{3!}) + R(0)^{iv}(\frac{\theta^4}{4!})+\dots $$

En efecto, en el polinomio se reemplaza cada término $\theta^{k}J^{k}$ por $A^{k}$ con $k=1,2,3,4, \dots$. Ver $[L6.3]$

La serie rotulada con $[L6.4]$ demuestra ser claramente la serie de Taylor para la función $\large {e^{A}}$, lo que demuestra que

$$R(\theta)=\large{e}^A=\large{e}^{\theta J}=\large{e}^{\theta \small{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}}}$$

$$ \large{e}^A=I + A + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{3!}A^3+\frac{1}{4!}A^4 + \frac{1}{5!}A^5 + \frac{1}{6!}A^6+\frac{1}{7!}A^7+ \cdots\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k $$

A continuación de este desarrollo "Infinitesimal de las Rotaciones Pasivas", base del siguiente capítulo II. Enfoque Exponencial $\large{e}^A$, del Grupo de Lie de matrices $2\times 2$.