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Enfoque II
Definición Algebra de Lie
Variedad Diferenciable


José Enrique González Cornejo
septiembre 2022





Grupo de Lie $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$141


 Introducción

Otro enfoque de la definición del Algebra de Lie, es a partir de un Grupo de Lie $G$ 81, en tanto es una variedad diferenciable114 topológica o una Variedad Suave ("Manifold" o superficie como un plano, un círculo, una esfera, u otras superficies suaves en diferentes dimensiones) 105

Por tanto, un Grupo de Lie $(G,·)$ es:

  • i) Un grupo dotado de una operación binaria 80;

  • ii) Adicionalmente, $G$ es una variedad topológica suave diferenciable, con una operación binaria propia (Corchete de Lie) que mapea, como se describe a continuación:

    $$[·,·]:G \times G \longrightarrow G\\ (g_1,g_2)\mapsto g_1·g_2 $$


En los párrafos a continuación, se intentará mostrar que a partir de esta relación $[·,·]:G \times G \longrightarrow G$, es posible identificar un espacio tangente $\varphi()$ a $G$ evaluado sobre el elemento neutro, y obtener un espacio vectorial de dimensión finita, el cual es trabajable infinitisimalmente como General Linear Groups y asociar su álgebra de Lie $\mathfrak{\large g}$.

Habitualmente se denota con $\large{\mathit e} \in G$ el elemento neutro del grupo y con notación multiplicativa la operación del grupo.


 Variedad topológica ~ Manifold

El concepto topológico de variedad bidimensional es un abstracción matemática del cotidiano concepto de superficie, que conocemos en un hoja de papel, un tabla delgada de madera, un lamina metálica, un banda rectangular, etc.. Es decir, estos objetos topológicos responden a la Geometría Euclidiana. Lo interesante es que la comprensión y extensión a espacios $\mathbb R^n$ del concepto de variedad, se realiza a través de superficies. Nótese que la ventaja de la generalización de $\mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^n$, es que todas las versiones de $\mathbb R$ tienen la misma estructura topológica.


Hoja de Papel Tabla de Madera Lamina Metálica Banda de Cartulina


Curvas sobre la Superficie ~ Esfera de Bloch


 Variedad Diferenciable

Los objetos geométricos son denominados Variedades Diferenciables cuando pueden ser tratados mediante el Cálculo Diferencial e Integral. Es decir, deben ser espacios donde la diferenciación e integración sea aplicable. Tanto en en geometría como en topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender desarrolllos del cálculo diferencial que se usan en $\mathbb {R}^{n}$.


Manifolds: Concepto Homeomorfos y No Homeomorfos


Esto significa que una variedad diferenciable es un espacio topológico, homeomorfo, -(más exactamente difeomorfo: lo que implica que dadas dos variedades $\mathcal {M}$ y $\mathcal {N}$, una aplicación $f:\mathcal {M} \to \mathcal {N}$ es un difeomorfismo si es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable)-, a un espacio euclideo.

De hecho, los espacios euclideos son en sí mismo Variedades Diferenciables, como propiamente tal sus curvas y superficies regulares.

Efectivamente, un subconjunto $M \subseteq \mathbb R^3$ se dice que es una superficie regular si para cualquier punto $p\in M$ existe un entorno $V$ de $p$ en $\mathbb R^3$ y una aplicación $\vec x : U \subset \mathbb R^2 \longrightarrow V \subseteq M$ de un abierto $U$ de $R^2$ sobre $M$, tales que:

  • i)  $\vec x$ es un homeomorfismo diferenciable y;
  • ii) la diferencial $(D \vec x)_{q}:\mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^3$ es inyectiva en todo punto $q \in U$.

A la aplicaciónn $\vec x$ se le denomina parametrización de $\mathcal M$ en $p$. La consecuencia más importante de la definición de superficie regular es el hecho de que el cambio de parámetros es un difeomorfismo. Por consiguiente, una superficie regular es, intuitivamente, una unión de abiertos de $\mathbb R^3$ organizados de tal forma que cuando dos de tales abiertos se intersectan la transición se puede realiza diferenciando. (La intersección finita de abiertos es un abierto)
Dada una familia indizada de la forma $\unicode{123}A_{i}\subset \mathcal M, I=1,2,3,\dots\unicode{125}$, con $A_i \subset \mathcal M$ se define:

$$ \bigcap_{i=1}^n A_{i}=\unicode{123}x\in A{ / } \forall i\in I, x\in A_{i}\unicode{125} $$

Intersección de Abiertos ~ Transición Diferenciando.


Como consecuencia, tiene sentido hablar, en una superficie regular, de funciones diferenciables y aplicar los métodos del Cálculo Diferencial.


 Variedad Suave

Nótese que tanto el producto vectorial $G \times G$ es una variedad topológica suave y $G$ es una variedad suave también, por tanto, se tiene un mapeo sobre variedades suaves, donde se garantiza una función inversa $inv:G \times G \longrightarrow G$ con $g \mapsto g^{-1}$, que también es una variedad suave. Las álgebras de Lie obtenidas están rodeadas de gran cantidad de información sobre sus grupos de Lie asociados.

En términos simples, una variedad es suave cuando la superficie no tiene quiebres y es homeomorfa146 a un parche en $\mathbb R^n$.

Variedad Suave (o lisa) vs Variedad No Suave (quebrada)


Es importante señalar que, a partir de la previa definición de Variedad Topológica Suave, existen tipos de variedades definidas por determinadas métricas. Por ejemplo, la de Bernhard Riemann, cuya definición implica que se define un producto interior $g_{p}:T_{p}M×T_{p}M\mapsto \mathbb R$ en cada uno de los espacios tangentes $T\times M \text{ de } \mathcal{M}$. Donde equivalentemente la suavidad de $g$, se refiere a todo espacio vectorial $\unicode{123}X,Y\unicode{125}$, cuya aplicación $x \mapsto g_x (X_x, Y_x)$ es suave. De ahí que $\mathbb R^n$ puede ser visto como una variedad Riemanniana bajo la operación producto interno de espacio euclídeo. (Ver Lee, John M. Introduction to smooth manifolds/ John M. Lee New York : Springer, cop. 2003,- Riemannian Manifolds-, Capítulo 13 página 327)



Ejemplo Clasificación: Riemannian Manifolds



 Ejemplos Estructuras Suaves

Por ejemplo, el grupo $G=(\mathbb R^n,+)$ tiene una estructura suave, porque si se operan dos vectores de $\mathbb R^n$ se obtiene la suma de esos dos vectores, el cual es un vector resultante suave. Por otro lado, si aplica la función de multiplicar por $-1$ es también una función suave. De modo que $(\mathbb R^n,+)$ es un grupo de Lie, abeliano y también llamado grupo n-dimensional de traslación.

Otro ejemplo simple de estructura suave es $S(1)=\unicode{123} z \in \mathbb {C} \text{ / } |z|=1 \unicode{125}$ que es un círculo unitario, donde $z_{\theta}$ es un grupo de Lie de rotación pasiva.

Sea $\mathbf {z_{\theta}}$ el operador lineal que utilizaremos en el ejemplo, el cual lo aplicamos a un vector cualquiera definido en el plano complejo $\mathbb {C}$ de la figura, de la forma $\mathbf {\vec v}=\overline {OQ}$ de ángulo $\alpha$. Es decir, al multiplicarlo vectorialmente por $\mathbf{\vec {z}}$, será rotado en un ángulo $\theta$, obteniendo un vector resultante $\mathbf{\vec w} $ cuyo ángulo con respecto al eje de la $x$, será de $\theta + \alpha$:

$$ \mathbf {\vec w = \vec z· \vec v} \text{, donde } \mathbf{|w|=|zv|=|v|} \text{, dado que } \mathbf{|z|}=1$$

Sea $v= \mathbf{e}^{i\alpha}\Rightarrow z· w = {e}^{i(\theta + \alpha)}$



Grupo de Lie Conmutativo en $S(1)$ ~ $U(1)$


En general, en toda la serie de publicaciones acerca del tema 123, me he centrado en los Grupos de Lie que operan con matrices $n \times n$, tanto en los reales como en los complejos y cuya determinante es diferente de cero, donde el producto de estas matrices es también un ejemplo de variedad suave.

Es decir, matrices invertibles ($G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)\neq 0 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$), las cuales son globalmente clasificadas como $GL(n,\mathbb R)$ (General Linear Groups):

$$ GL=\unicode{123} \varphi:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^n | det(\varphi) \ne 0 \unicode{125} $$



Variedad (Manifold) $G$ ~ Espacio Tangente $M_n(K) = \large{\mathfrak {g}}$

En la figura, se representa una superficie que tiene la estructura algebraica de un grupo.

Por tanto, si se toma un par de elementos $g_1,g_2$ de esa variedad $G$ y se aplica su correspondiente operación binaria, se obtendrá una resultante $g_3$, que también pertenece a la variedad $G$, i.e. $g_1 · g_2=g_3, \text{ donde } \forall g_1,g_2,g_3 \in G$.

Así mismo, encontramos el elemento Identidad e $\in G$ , sobre el cual se saca el plano tangente de la superficie.

Este plano tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$, cuyos generadores infinitesimales son el conjunto de matrices $\vec P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación. (Ver Generadores $SO(3)$)

Luego, desde una perspectiva de la geometría euclídea este grupo especial $G$ se conecta con un Algebra de Lie mediante el espacio tangente al punto Identidad de $G$, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

En otras palabras, $G$ es un grupo de Lie, su Algebra de Lie, es el espacio tangente en la identidad $I$.

Geométricamente la operación binaria corchete de Lie surge ahí de manera natural entre campos de vectores, i.e. $[X Y] = XY - Y X$ mide la variación de la variable $Y$ cuando se desplaza por las curvas integrales de $X$.

Un ejemplo sencillo, es el Algebra de Lie que genera el grupo de rotación en $SO(2)$:


Algebra de Lie ~ Espacio Tangente $\mathfrak {g}$ ~ Elemento Identidad
 Ver Video Grupo de Rotación Enfoque Geométrico

La figura muestra un círculo contenido en $\mathbb R^2$, con un vector longitud $1$ y ángulo $\theta$, donde el punto $q$ tiene asociada la matriz $M_{2 \times 2}(\theta)$, - que es la operador de rotación que constituye un Grupo de Lie en $SO(2)$ -, y la recta tangente en el punto $p=(1,0)$, - que corresponde al elemento Identidad -. Luego, la recta tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$.



 Particular Ejemplo $Sl_2(\mathbb R,·)$

Inicialmente se demostrará que $Sl_2$ (Linear Special Group) definido sobre el cuerpo $\mathbb R^2$, es un grupo de matrices especial dado que su determinante es uno, bajo la multiplicación. Posteriormente se probará que $Sl_2$ tiene asociada un Algebra de Lie.

En general, las matrices $M \in Sl(n)\text{ sobre } \mathbb R^n$ se clasifican con el término especial, dado que por definición su $det(M)=1$. Además, en su transformación sobre $\mathbb R^n$, los elementos de $Sl(n)$ conservan tanto el volumen como su orientación. $Sl_2$ se define como el siguiente conjunto:


$$ Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/ad-bc=1\Bigg\}\subseteq{GL(\mathbb R^4)}\qquad\quad \bbox[#FFFFE0] {(AL1)} $$

 P.D. $\mathbf {Sl_2}$ es un Grupo80

Por demostrar, primeramente que $SL_2$ es un grupo y más adelante se demostrará que tiene un Algebra de Lie asociada. (Ver Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$)

  • i) $Sl_2$ es cerrado, porque dadas dos matrices cualquiera del conjunto, $\forall A,B \in Sl_2$, tenemos que el producto de matrices $A·B \in Sl_2$.

    En efecto, sea $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix}$

    Luego,

    $A·B=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix} $

    $\Rightarrow$

    $A·B=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}\\ \end{pmatrix} $


    Donde $A,B \in Sl_2 \Rightarrow det(A)·det(B)= det(A·B)=1$

    Por lo tanto, $A·B \in Sl_2$.

    __________________________


  • ii) $Sl_2$, está dotado de un elemento neutro $M·I=M·I=M$, donde $I \in Sl_2$, dado que

    $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

    $\Rightarrow$

    $det(I)=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{vmatrix}=1$ 

    __________________________


  • iii) La matrices $\forall A,B,C \in Sl_2$, son trivialmente asociativas: $A·(B·C)= (A·B)C$

    Sean $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\\ \end{pmatrix}$

    Donde cada una de ella tiene determinante igual uno, dado que $A,B,C \in Sl_2$,

    i.e. $det(A)=1$, $det(B)=1$ y $det(C)=1$

    Entonces,

    $\underbrace{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}_{1}·\Big(\underbrace{(b_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})}_{1}·\underbrace{(c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}}_{1})\Big)$=$\Big(\underbrace{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}_{1}·\underbrace{(b_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})}_{1}\Big)·\underbrace{(c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}}_{1})$


    $1·(1·1)=(1·1)·1=1 \Rightarrow$ Asociatividad 

    __________________________


  • iv) Existe una matriz inversa, tal que $\forall M \in Sl_2, M·M^{-1} = M^{-1}·M =I$

    $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y\\ z & w\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $

    $\Rightarrow$

    Aplicando el cálculo de la inversa mediante el método de la matriz adjunta139 de $2\times 2$

    $M^{-1}= \frac{1}{det(M)}· \text{adj}(M)$,

    se tiene que la $det(M)=1$ y la adjunta es

    $\begin{pmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}$,

    cuya determinate $det(adj(M^{-1}))=da-bc=1$, i.e.

    $M^{-1}=\begin{pmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}$, donde $det(M^{-1})=\begin{vmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{vmatrix}=1$

    Por consiguiente, $\exists M^{-1}$ inversa, tal que $\forall M \in Sl_2, M·M^{-1}= M^{-1}·M =I$

    __________________________


Por tanto,$Sl_2$ es un grupo.



QED //

__________________________

Nota.- Así mismo, $Sl_2(\mathbb R) $ es un grupo de Lie de dimensión $4$, dado que es un subgrupo de $GL(n,\mathbb R)$ sobre el campo de los números reales. Nótese que el conjunto de todas las matrices $M_n(\mathbb R)$ de $n\times n $, forman un espacio vectorial real de $n^2$. El subconjunto $GL(n,\mathbb R)$ consiste de aquellas matrices cuya determinante es diferente de cero. $[B61]$




 Observación: $\large{\exists}\ M\in Sl_2$, donde $M\notin SO(2)$

Nótese que el conjunto de transformaciones $Sl_2$ es un grupo lineal especial, pero no es un Grupo de Lie en $SO(2)$ (i.e. no todas sus matrices pertenecen al conjunto 'Special Ortogonal of Order 2', porque existen matrices $M \in Sl_2$ que no son ortogonales).

Por ejemplo la siguiente matriz no unitaria.

Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\in Sl_2$, que tiene por determinante $det(A)=1\neq 0$, su transpuesta es:

$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\-3 & 1\\\end{pmatrix}$

y su inversa es:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3\\-3 & 1\\ \end{pmatrix}$


Es decir, $A\in Sl_2$ no es un grupo de Lie en $SO(2)$, dado que $A^{T}\neq A^{-1}$, o dicho de otra manera $AA^{T}=10\neq I$. i.e. no es ortogonal.


$\mathit {SO(2)\subset Sl_2}$


Los grupos especiales como $SO(n)$ son intersecciones de un grupo padre ("parent method from a child class") adecuado y el grupo lineal especial $Sl(n)$:


$$ SO(n,\mathbb R)=O(n,\mathbb R)\bigcap Sl(n,\mathbb R)\\ $$
Donde, $O(n,R)$ es el conjunto de matrices ortogonales sobre $\mathbb R$ y de ese modo heredar algunas características de ambos grupos.

La definición del grupo ortogonal $O(n)$ caracteriza la geometría euclidiana, i.e. la geometría en $\mathbb R$ bajo transformaciones de longitudes y ángulos preservados invariantes.

En el caso del grupo lineal especial de $Sl(n)$, su característica geométrica en $\mathbb R$ bajo transformaciones es conservar invariante una forma de volumen.

Ahora, si consideramos por ejemplo el conjunto de matrices de la forma:


$$M=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\sin(\theta) & cos(\theta)\\\end{pmatrix} $$
Donde $\theta\in \mathbb R \quad \Rightarrow M$ es un Grupo de Lie en $SO(2)$, dado que $det(A)=1 \land A^{T}=A^{-1}$, i.e. las matrices $M$ son especiales y ortogonales. 109

Ver casos donde se cumplen estas condiciones:



 Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$


$$Sl_2=\Bigg\{M= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/ad-bc=1\Bigg\}$$
Esta conformación de grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})$, con matrices cuyas determinantes son igual a uno, - rotulada como $(AL1)$), es posible asociarle un Algebra de Lie $\mathfrak g$, mediante una aproximación geométrica.

Aún más, la determinante de una matriz cuadrada es un polinomio de sus entradas, por lo que es infinitamente diferenciable.142

En efecto, si parametrizamos los elementos en $a(t),b(t),c(t),d(t)$ de la matriz $(AL1)$, i.e. con una función diferenciable $\varphi(t) \in Sl_2(\mathbb R)$, entonces se puede asumir que existe una curva $C$ que se desplaza sobre la superficie lisa del objeto.

Luego, bosquejamos en la figura#1 una curva $C$ continua y diferenciable que se desliza sobre esa (manifold) superficie suave tridimensional:


Fig#1 $\large{\varphi(t)}$: Curva $C$ sobre Variedad Suave


Entonces, $(AL1)$, en términos paramétricos se expresa con la siguiente la matriz:

$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL2)}$$
Es decir, se asume que esta función $\varphi(t)$ del grupo $Sl_2$, determina una curva sobre la variedad en el plano 3-dimensional euclidiano, de modo que tiene un punto neutro igual a la idéntica. (Ver figura #2)135

Luego, al evaluar la derivada $\varphi(t)$ de la función en el punto identidad $I$, se genera un plano tangente a la variedad en ese punto, y consecuentemente un Algebra de Lie asociada. Es decir, el Algebra de Lie de un Grupo de Lie, es definido como el espacio tangente en la identidad.

Ilustremos su demostración:

Sea $X=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix} $, el conjunto de matrices de $2\times 2$ que genera un álgebra de Lie $\mathfrak g$.

Donde,

$$X=\varphi'(0)=\begin{pmatrix} a'(0) & b'(0)\\c'(0) & d'(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL3)} $$
$$\Rightarrow$$
$$x=a'(0)$$
$$y=b'(0)$$
$$z=c'(0)$$
$$w=d'(0)$$

Nota.- En otras palabras, la matriz $X$ generadora del Algebra de Lie $\mathfrak g$ es la derivada de la función $\varphi(t)$ evaluada en $t=0$, por tanto $\unicode{123}x,y,z,w\unicode{125}\equiv \unicode{123}a'(0),b'(0),c'(0),d'(0)\unicode{125}$. Notación de elementos respectivos, que se utilizarán indistintamente en el presente desarrollo.





Fig#2: Variedad (Manifold) ~ Espacio Tangente $\large{\mathfrak {g}}$


Se asume que existe una curva $C$, definida por $\varphi(t)$ , tal que:

$$\varphi(\mathbb R):\longrightarrow Sl_2(\mathbb R)$$
$\Rightarrow$
$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL4)} $$
Evaluando la función $\varphi$ en el neutro $e$, i.e. en $t=0$ y sabiendo que $\varphi(0)=I$, tenemos:

$$\varphi(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad\Rightarrow \begin{matrix} a(0)=d(0)=1\\b(0)=c(0)=0\\ \end{matrix} $$

Ahora, consideremos la siguente expresión (extraída desde $(AL4)$), para aplicar la diferenciación:

$$\bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\varphi(t)=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL5)}$$

De donde se deriva implícitamente la función $\varphi(t)$ con respecto al parámetro $t$:


$$\varphi'(t)=\underbrace{a'(t)d(t)+a(t)d'(t)}_{\large{(a(t)·d(t))'}}-\underbrace{(b'(t)c(t)+b(t)c'(t))}_{\large{(b(t)·c(t))'}}=\underbrace{0}_{\large{\frac{d(1)}{dt}=0}}$$


Evaluando la derivada $\varphi'(t)$ en $t=0$ y usando $(AL5)$, tenemos:

$$ \underbrace{a'(0)}_{\large{x}} d(0) + a(0)\underbrace{d'(0)}_{\large{w}}-\underbrace{b'(0)}_{\large{y}}c(0)-b(0)\underbrace{c'(0)}_{\large{z}})=0$$
Sustituyendo los valores de $(AL5)$, i.e. $a(0)=d(0)=1 \land b(0)=c(0)=0$ en $(AL6)$ y simplificando:

$$\varphi'(0)=\require{cancel} {a'(0)\cancelto{1}{d(0)} + \cancelto{1}{a(0)}d'(0)-b'(0)\cancelto{0}{c(0)}-\cancelto{0}{b(0)}c'(0)=0}$$
$$\Rightarrow$$
$$\varphi'(0)=\underbrace{a'(0)}_{\large{x}}+ \underbrace{d'(0)}_{\large{w}}=0$$

Considerando $(AL3)$. Es decir:
$$x=a'(0)$$
$$y=b'(0)$$
$$z=c'(0)$$
$$w=d'(0)$$

$$\Rightarrow$$
$$\mathbf {a'(0)=-d'(0) \iff x=-w}$$

De donde se conecta una representación de un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de la forma:

$$\mathfrak{rg}=\Bigg\{\begin{pmatrix}x & y\\z & w\\\end{pmatrix}\Bigg/x=-w\Bigg\}$$

Extendiendo todas las combinaciones con la condición $\mathbf {x=-w} \quad \Rightarrow$, se obtienen tres matrices:

$$ \mathfrak {rg}=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \Bigg\}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125} \qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL6)}$$

Nota.- $\mathfrak{rg}=\unicode{123}E,F,H\unicode{125}\equiv \unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$

$\unicode{123}E,F,H\unicode{125}$ es una notación estándard equivalente, utilizada en variadas pubilicaciones para referirse a estas tres matrices generadoras $\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$.



 Conmutadores del Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$

Aplicamos al conjunto $\mathfrak{rg}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$ la operación binaria Corchetes de Lie, $[XY]=XY-YX$, para probar que cumple las propiedades89 requeridas para constituir un Algebra de Lie.



Veremos una síntesis de los resultados en la siguiente tabla:

Tabla con Corchetes de Lie ~ Generadores $Sl_2$
[ , ] $\mathbf {g_1}$ $\mathbf {g_2}$ $\mathbf {g_3}$
$\mathbf {g_1}$ $0$ $g_3$ $-2g_1$
$\mathbf {g_2}$ $-g_3$ $0$ $2g_2$
$\mathbf {g_3}$ $2g_1$ $-2g_2$ $0$


Explícitamente, operando matricialmente:

$$ [g_1 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_1 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} } } $$
        $$\overbrace{\quad g3 \quad}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_1 g_2]= g_3}}$ 



$$ [g_1 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_1 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$

$$[g_1 g_3]=$$

 

 

 

$$\overbrace{-2\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_1 g_3]= -2g_1}}$ 



$$ [g_2 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_2 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\1& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\-1 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 2 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$

$$[g_2 g_3]=$$

 

 

 

$$\overbrace{2\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_2 g_3]= 2g_2}}$ 



$$ [g_3 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0& 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_3 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\0& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 2\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$

$$[g_3 g_1]=$$

 

 

 

$$\overbrace{2\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_3 g_1]= 2g_1}}$ 



$$ [g_3 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_3 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\-1& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ -2 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$

$$[g_3 g_2]=$$

 

 

 

$$\overbrace{-2\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_3 g_2]= -2g_2}}$ 



$$ [g_2 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_2 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\0& 1\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$\mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} } } $$

$$[g_2 g_1]=$$

 

 

 

$$\overbrace{-\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}}$$
        $$\overbrace{\quad -g3\quad}$$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_2 g_1]= -g_3}}$ 



Luego, desde una perspectiva de la geometría euclídea este grupo especial $Sl_2$ se conecta con un Algebra de Lie $\mathfrak g$ mediante una representación que llamamos $\mathfrak{rg}$ del espacio tangente al punto Identidad, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

El grupo lineal especial $Sl\subset G(n)$, se puede generalizar a un Algebra de Lie $\mathfrak{g}$, formada por todas las matrices de $n\times n$, sobre el cuerpo de los reales o complejos y cuya traza es nula.

Paerticularmente en los reales, $\large{\mathfrak {g}}$ es el conjunto de todas las matrices n-dimensionales antisimétricas, que llamaremos Algebra de Lie del grupo $Sl_n$.

Definida como:

$$\large{\mathfrak {g}}=\unicode{123} M \in \mathbb{R^n} \text{ / } \underbrace{M^T=-M}_{\text{Antisimetría}} \unicode{125}$$



 Ejemplo de Representación de Algebra de Lie

El hecho de que $Sl(n,R)$ sea simple, pone a disposición la teoría de las representaciones de álgebras de Lie para ilustrar en muy buena forma un natural ejemplo de aplicación.

En efecto, un ejemplo análogo de $Sl_2$ se expone de manera excelente, - para todos aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie-, en la clase dentro del aula "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015. $[B60]$

En esa clase muy pedagógica, André Henriques expone un ejemplo de $Sl_2$, de la forma:

$$Sl_2=\Bigg\{M=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}\Bigg/a+d=0\Bigg\}\qquad\quad \bbox[FFFFE0] {(AL7)}$$

Extendiendo las tres matrices unitarias generadoras del Algebra de Lie asociada, que satisfacen condición $a+d=0$, las cuales se rotulan como span $\unicode{123} H,E,F \unicode{125}$, de donde:

$$ H= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} $$
$$ E= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
$$ F= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
Operando estas matrices con Corchetes de Lie:

$[HE]=2E$
$[HF]=-2F$
$[EF]=H$


Diagramando y explicando detalladamente una representación de $(AL7)$ con un punto para cada dimensión, (i.e. en 5 dimensiones). Conectando en dirección hacia la derecha los puntos, después en dirección opuesta y tambien conexión de los puntos consigo mismo. Posteriormente mostrando como se satisfacen las operaciones de los corcheter de Lie en la representación gráfica.


Representación:  $G$ $\longrightarrow$ Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$141


Para finalizar, recomiendo consultar la conferencia o clase, acerca de los Grupos de Lie $SL(2,\mathbb C)$ y sus Algebra de Lie asociada del profesor Dr. Frederic Schuller de la Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, 21 sept 2015: "The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$$[B61]$. Sumado a una serie de publicaciones atingentes del Dr. Schuller en "Lectures on Geometrical Anatomy of Theoretical Physics"





 Notas Adjuntas





Videografía y Bibliografía

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    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/



  • [B5]
    Quantum Computing Explain
    David McMahon on 2007
    WILEY-INTERSCIENCE
    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
    https://www.academia.edu/31537353

    /_David_McMahon_Quantum_
    Computing_Explained_BookFi_1_

  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
    Google

  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
    Cambridge Massachusetts
    London England ~ 2004

  • [B8]
    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
    Departamento de Computación. Facultad de Informática.
    Universidad de la Coruña
    2O13

  • [B9]
    Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations
    Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert
    Clarendon Laboratory, Department of Physics
    University of Oxford, Oxford, OX1 3PU, U.K.
    (Submitted to Phys. Rev. A)
    16 de Noviembre 1995

  • [B10]
    Quantum computing for the determined
    Michael Nielsen on June 10, 2011
    http://michaelnielsen.org/blog/

    quantum-computing-for-the-determined/
    https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8

  • [B11]
    QC — Quantum Algorithm with an example
    Jonathan Hui
    Dec 6, 2018
    https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-

    algorithm-with-an-example-cf22c0b1ec31

  •  
  • [B12]
    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos

    relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
    https://en.wikipedia.org

  • [B13]
    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ

  • [B14]
    Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015)
    Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model
    September 9, 2015
    Lecturer: Ryan O’Donnell Scribe: Ryan O’Donnell

  • [B15]
    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
    José Enrique González Cornejo
    Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación,
    CIDE, Santiago – Chile, 1990.
    Registro Nº81.183 - 1991 ~ Editoria Argué Ltda

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    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
    José Enrique González Cornejo
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy Junio 2014
    https://www.docirs.cl/algoritmo_cambio_base.htm

  • [B17]
    Algoritmo, Generación Distribución
    Aleatoria Discreta de Suma 1
    José Enrique González Cornejo
    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

    https://www.docirs.cl/
    Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm

  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
     Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B22]
    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos de los
    Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing &
    Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto

    Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php

  • [B37]
    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
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    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
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  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
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    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
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    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • [B60]
    Lie Algebra Representations
    André Henriques
    Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford
    agosto del 2015.


  • [B61]
    The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$
    Dr. Frederic Schuller
    Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
    21 sept 2015


  • Paginas Independientes del autor que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy