Topologie ~ Wiskunde
De Gemeente Universiteit Amsterdam(GU)
“ $\mathbf{\text{Zij } x \in U}$ een open omgeving van x $\dots$

1974 JEGC



 +   Ficha Técnica
 +   Mapa Publicaciones
 +  Conceptos Claves
 +   Variedad Suave 
 +   Videos Asociados




Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización


Capítulo extraído del Documento de Base:
Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie



José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021



Video Definición Algebra de Lie


 Indice 




Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización

La intención de este capítulo, - previo a la definición formal del Algebra de Lie -, es precisar una introducción a la teoría del Algebra de Lie, mediante la descripción de herramientas básicas, tales como el grupo multiplicativo de los complejos diferente de Cero ($C^{*}$), distinguir el producto interno del espacio vectorial complejo, tratar la operación binaria Corchetes de Lie con Levi-Civita, señalar cómo se deriva hacia los grupos especiales y unitarios de Lie $SU(n)$87, de igual manera, explicar la idea de las variedades diferenciables y esbozar ciertas aplicaciones en robótica.


Planos Tangentes ~ Puntos Superficie de una Esfera118

Sea M una variedad topológica de dimensión $\mathit{n}$. Una carta o vecindad abierta en $M$ es un par $(U,\varphi)$, donde $U$ es un abierto de $M$ y $\varphi: U \rightarrow \varphi(U)=\hat{U}$ es un homeomorfismo de $U$ al abierto $\hat{U}$ de $\mathbf{R}^n$. La transformación $\mathit{\varphi}$ se le suele llamar cambio de coordenadas o función de transición.

Nótese que una variedad localmente tiene propiedades hereditarias del espacio euclídeo, pero no así con las propiedades globales. Por eso es necesario agregar condiciones globales a la definición, a fin de evitar excepciones. De ahí que, la definición de variedad topológica garantiza que $\forall p \in M$, es posible encontrar una carta $(U,\varphi)$, tal que $\mathit{p}$ esté en su dominio.

Ahora, si $\mathit{\varphi(p)}=0$ se dice el centro de la carta es $\mathit{p}$. (Sacando el vector constante $\mathit{\varphi(p)}$).


Variedad Superficie Esfera (carta) - Plano Cartesiano


  • Equivalencia Topológica ~ Homeomorfismo

  • En la búsqueda de encontrar funciones existentes continuas y biunívocas entre espacios, tenemos desde la trigonometría el ejemplo de la función tangente. Restringiendo su dominio a un intevalo abierto de los propios reales:

    Ciertamente, el intervalo abierto $U=]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[$, que es un subconjunto de los reales, se dice que es topológicamente equivalente al conjunto de todos los reales, dado que existe al menos una función continua y biyectiva $\mathbf{\varphi}$ entre estos dos conjuntos.

    Esto, los convierte en espacios homeomorfos116, i.e. $\forall x\in U \text{ }\exists \mathbf{\varphi(x)}\in R$. Además con $\mathbf{\varphi(x)}=0$ la carta o vecindad está centrada en $\mathbf{x}$.

    En efecto,la función:

    $$\mathbf{\varphi}:]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[\subset R\quad \longrightarrow \quad ]-\infty,+\infty[=R\quad \text{, donde } \mathbf{\varphi(x)}=tan(x)$$
    Nótese que

    $$x \longrightarrow -\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow -\infty \\ x=0 \quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}=0 \\ x \longrightarrow +\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow +\infty$$

    El arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir, $\mathbf{\varphi^{-1}}(x)=arctan(x) \iff x=tan(\varphi(x))$.


                $]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[ \longrightarrow R$

  • Equivalencia Topológica ~ Isomorfismo

  • La equivalencia topológica denominada isomorfismo se distinque de un homeomorfismo cuando se trabaja sobre variedades suaves. En ese ámbito todos los isomorfismos son homeomorfismos, no así al contrario. Un homomorfismo es simplemente un isomorfismo que no es biyectivo.(Puede ser no suprayectivo)

    Supongamos $G$ y $H$ son grupos. Entonces se dice que $\varphi:G \longrightarrow H$ es un isomorfismo de grupos si $\varphi$ es bijectiva (i.e., $\varphi$ es inyectiva(1-1) y suprayectiva (sobre), donde se satisfacen las tres siguientes condiciones:

    • i) $\varphi(e) = e$, donde $e$ es el elemento neutro.

    • ii) $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \ \forall \ g \in G$

    • iii) $\varphi(gh) = \varphi(g)\varphi(h) \ \forall \ g,h \in G$

    En síntesis, $\varphi(a*b)=\varphi(a)·\varphi(b)\Rightarrow \forall a,b \in G$. Luego, la transformación $\varphi()$ preserva la operación de grupo. Además, para grupos finitos significa que $G$ y $H$ tienen el mismo tamaño y que para todo elemento de $G$ existe un único elemento en $H$

    Varios de los fundamentos de esos conceptos se trataron en los capítulos previos del documento Puertas de Pauli y Algebra de Lie, y sus videos complementarios que intentan describir sus resultados más significativos.

    El enfoque que aquí se expone es clásico y simple. El tema está profunda y abundantemente documentado en centenas de artículos académicos de Matemáticas108, Mecánica Cuántica, y diversas disciplinas científicas e ingenieriles.

    Es decir, existe una serie de tópicos atingentes que están lejos de los propósitos de este capítulo, el cual pretende formalizar el Algebra de Lie, a partir del uso de las Matrices de Pauli. Por tanto, en el presente artículo se tocan una serie de conceptos matemáticos involucrados como Topología, Variedades Diferenciables, Teoría de Grafos, u otras ramas complejas de la matemática que son brevemente tratados, en tanto introducción de introducciones. (Ver artículo: Definición Algebra de Lie ~ Variedad Diferenciable ).


    Aplicación del Algebra de Lie

  • Breve Preámbulo

    • Ejemplo de Homeomorfismo ~ La misma agua Vaso-Plato
      Equivalencia topológica116

      La aplicación del Algebra de Lie obliga a todos aquellos que trabajan en programación, desarrollo de sistemas y robótica a equiparse con más matemática. Especialmente a profundizar en el Algebra Lineal en el campo de las transformaciones lineales y un poco de Topología. Dicho de otra manera, avanzar en el concepto de espacio Euclidiano, donde cada punto $p \in M\subseteq R^2$, tiene una vecindad que es homeomorfa (función de un espacio topológico a otro) en un subconjunto abierto en $R^n$. Esta propiedad lo convierte en una variedad diferenciable117.

      Una introducción simple al concepto de variedad topológica unidimensional es la relación entre una línea y un círculo. Se entiende que la topología hace abstracción del arco (curvo) y de sus propiedades métricas. (Ver Propiedades Geométricas Cualitativas). Donde un segmento de un círculo se transforma mediante una función $\varphi()$ en una línea. Es decir, es un mapeo continuo e invertible desde $R^2$ hacia el intervalo abierto $]-1,1[$ en $R$


      Ejemplo: Variedad o Manifold Suave

      Luego, el concepto topológico de variedad bidimensional es un abstracción matemática del cotidiano concepto de superficie, que conocemos en un hoja de papel, un tabla delgada de madera, un lamina metálica, un banda rectangular, etc.. Es decir, estos objetos topológicos responden a la Geometría Euclidiana. Lo interesante es que la comprensión y extensión a espacios $R^n$ del concepto de variedad, se realiza a través de superficies. Nótese que la ventaja de la generalización de $R^2 \longrightarrow R^n$, es que todas las versiones de $R$ tienen la misma estructura topológica.


      Hoja de Papel Tabla de Madera Lamina Metálica Banda de Cartulina

      Ahora, los espacios de dimensiones superiores equivalentes a una $n \text{-variedad}$, son espacios topológicos con las mismas propiedades euclídeas. Esto significa que $R^n$ preserva las mismas propiedades estructurales topológicas de la variedad, dado que $R \subset R^2 \subset R^3 \dots \subset R^n$.

      En el presente y en los diferentes artículos que hemos mencionado variedades, nos referimos a variedades compactas (y suaves), - generalmente de $2 \times 2$ -, basándonos en la existencia del teorema de clasificación de variedades compactas de dimensión $2$ [B59]. Teorema que facilita la comprensión y descripción de esta matemática topológica.


      Variedad Suave (o lisa) vs Variedad No Suave (quebrada)

      Obsérvese que un punto en una superficie curva o plana de un espacio vectorial, tiene una vecindad de puntos que lo transforma en una estructura topológica. Luego, mediante una función continua y biyectiva hacia una vecindad en otro espacio vectorial. Es decir, este mapeo es una variedad suave105.

      La vecindad de un punto interior es un conjunto abierto de puntos próximos a él. Estos entornos pueden tener diversas clases (abiertos, cerrados, conexos, inconexos,...). Dentro de un Espacio Métrico, la unión de entornos puede cubrir un espacio. Así mismo, topológicamente puede definirse una métrica entre puntos interiores bajo propiedades cualitativas, i.e. no necesariamente distancias o cualidades numéricas.



  • Algebra de Lie y Robótica.

    • Con la aplicación del Algebra de Lie se puede describir y analizar el movimiento de robots, así como para controlar y planificar sus trayectorias.

      Los robots son máquinas diseñadas para realizar tareas repetitivas. Para controlar estos robots de manera precisa y eficiente, se utiliza en parte el Algebra de Lie en los algoritmos, con otras tecnologías de control de movimientos. (Ver Ejemplo de Aplicación - Generadores de Algebra de Lie $SO(3)$ -Control de Orientación en un Dron)


      Ejemplo Dron: Vehículo Aéreo no Tripulado


      Tal como se señala en un párrafo posterior la relación matemática entre las variables de articulación, la posición y orientación se expresan transformaciones homogéneas en Algebra de Lie.

      El control de movimiento se basa en cálculos Jacobianos163, que son matrices relacionadas con el Algebra de Lie.

      Estas matrices Jacobianas relacionan los cambios en los ángulos de Euler187 con los cambios correspondientes en la matriz de rotación. Las matrices Jacobianas establecen la relación entre sistemas de referencia.

      Con una matriz Jacobiana $\large J$ es posible aplicar una rotación infinitesimal sobre un punto $P$ alrededor de los ejes $x, y, z$, y usar las derivadas parciales para calcular cómo cambia la posición del punto.


      Rotaciones Independientes en Torno a Ejes188


      Sea $R(\alpha,\beta,\gamma)=(R_{x},R_{y},R_{z})$, siendo la Jacobiana una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden (todos balores escalares) de una función:



      $$ \large{J_R}=\begin{pmatrix} \frac{\partial R_{x}} {\partial \alpha} && \frac{\partial R_{x}} {\partial \beta} && \frac{\partial R_{x}} {\partial \gamma}\\ \frac{\partial R_{y}} {\partial \alpha} && \frac{\partial R_{y}} {\partial \beta} && \frac{\partial R_{y}} {\partial \gamma}\\ \frac{\partial R_{z}} {\partial \alpha} && \frac{\partial R_{z}} {\partial \beta} && \frac{\partial R_{z}} {\partial \gamma}\\ \end{pmatrix} $$

      Por ejemplo, para una rotación infinitesimal alrededor del eje $z$, podemos escribir:

      $$ \frac{\partial P}{\partial \alpha} = \frac{\partial R}{\partial \alpha}\times P $$
      Donde $\frac{\partial P}{\partial \alpha}$ es el cambio infinitesimal en la posición del punto $P$ debido a una rotación infinitesimal alrededor del eje $z$, $\frac{\partial R}{\partial \alpha}$ es la matriz jacobiana de la rotación con respecto al ángulo $\alpha$, y $P$ es la posición original del punto $P$.

      Cuando se trabaja con $SO(3)$, generalmente se enfrenta a parámetros que describen la rotación, como ángulos de Euler, ejes de rotación o cuaterniones.

      Para entender cómo estos parámetros afectan una rotación particular, se utiliza la matriz jacobiana $J$.

      En este caso, la forma de aplicación de $J$, es sobre matrices de rotación $R$ en $SO(3)$, siendo $SO(3)$ es el conjunto de todas las matrices de rotación $R_{3\times3}$, que cumplen las propiedades

        i) $det(R) = 1$, asegura que no haya reflexiones involucradas en la rotación.

        ii) $R^T·R = I$, donde $I$ es la matriz de identidad, i.e. garantiza que la matriz sea ortogonal.

      $$\Rightarrow$$

      $$SO(3)=\unicode{123}R \text{ / }det(R)=1 \land (R·R^T=R^T·R=I)\unicode{125}$$


      La matriz jacobiana $\large{J}$ de estas funciones se verá de la siguiente manera:

      $$\large{J}=\frac{\partial R}{\partial \theta}$$
      Donde $\partial R$ es el cambio infinitesimal en la matriz de rotación $R$ debido a un cambio infinitesimal en los parámetros $\theta=\unicode{123}\alpha,\beta,\gamma\unicode{125}$, los cuales describen la rotación.

      La matriz jacobiana $\large{J}$ indica cómo las infinitesimales variaciones en los parámetros se traducen en pequeñas variaciones en la matriz de rotación. Esta información es crucial en aplicaciones de control, visión por computadora, robótica y muchas otras áreas en las que necesitas comprender cómo las rotaciones responden a cambios en los parámetros.

      Por tanto, la matriz jacobiana se utiliza en el contexto de $SO(3)$ para describir cómo las pequeñas variaciones en los parámetros que definen una rotación se traducen en pequeñas variaciones en la matriz de rotación, lo que es fundamental en aplicaciones donde se requiere un control preciso de las rotaciones en el espacio tridimensional.

      En resumen, al utilizar las derivadas parciales de la matriz de rotación con respecto a los ángulos de Euler, podemos calcular cómo cambia la posición de un punto en el espacio tridimensional cuando se aplica una rotación específica.

      Esto es útil en aplicaciones donde se requiere el conocimiento de las transformaciones espaciales y sus efectos sobre los puntos en el espacio.

      El diseño y desarrollo de algoritmos de control de movimiento permitirán que el robot se mueva a una posición y orientación programada mediante argumentos paramétricos de sus funciones.

      Para definir trayectorias suaves y seguras para el robot, se utilizan técnicas de interpolación y optimización basadas en el Algebra de Lie. Esto implica encontrar el camino más corto o más eficiente entre dos puntos en el espacio de configuración del robot.

      Durante la operación en tiempo real, el Algebra de Lie se usa para calcular y ajustar continuamente las velocidades de las articulaciones de un robot para describir la trayectoria de la función establecida. Esto garantiza que el robot realice su tarea con precisión y se adapte a cambios en el entorno.


    • Proceso de cálculo Matriz Jacobiana

    • El proceso de cálculo de la matriz jacobiana implica los siguientes pasos:

          i) Definir una función vectorial que relaciona los parámetros de entrada con la matriz de rotación de salida. Esta función toma los parámetros como entrada y produce la matriz de rotación $R$ como salida.

          ii) Expresar las pequeñas variaciones en los parámetros de entrada como un vector pequeño $\vec{\Delta\theta}$. Por ejemplo, si tienes un parámetro de ángulo $\theta$, la variación $\vec{\Delta\theta}$ sería un pequeño cambio en ese ángulo.
          $$ \partial \theta=\lim_{n\to\infty} \left(\frac{\theta}{n} \right) $$
          iii) Calcular las variaciones correspondientes en la matriz de rotación $\Delta R$.

          iv) La matriz jacobiana $\large J$ es una matriz que relaciona $\vec{\Delta\theta}$ y $\Delta R$. Cada elemento de la matriz $\large J$ se calcula tomando la derivada parcial de cada componente de la matriz de rotación $R$ con respecto a cada parámetro de entrada. En otras palabras, cada elemento $r_{i, j}$ de la matriz jacobiana $\large J$ se calcula como:

          $$ \large J_{ij} = \frac{\partial R_{ij}}{\partial j}\\ \text{cuando, } \Delta \theta\longrightarrow 0 \Rightarrow \Delta R \longrightarrow 0 $$

          v) Una vez que hayas calculado todos los elementos de la matriz jacobiana, tendrás una matriz que describe cómo pequeñas variaciones en los parámetros de entrada $\vec{\Delta\theta}$ se traducen en pequeñas variaciones en la matriz de rotación $\Delta R$. Esto es particularmente útil en aplicaciones de control, donde necesitas ajustar una rotación en respuesta a cambios en los parámetros.




  • Robótica

    • La aplicación del Algebra de Lie y su empleo creciente en el ámbito de la robótica (Ver Lie theory for the roboticist, Joan Solà112), particularmente la matemática de las rotaciones basada en cuaterniones.




      Variedad114 de $R^3 \longrightarrow R^2$

      Esta relación de las operaciones en el grupo como muestra la figura "Variedad de $R^3 \longrightarrow R^2$" , que es curvo y no lineal, tienen un equivalente en el Algebra de Lie, que es un espacio vectorial lineal.

      Nótese que, en la esfera, - como por ejemplo Esfera de Bloch -, definida en $R^3$ no constituye un grupo de Lie, sólo se utiliza como una representación gráfica, dado que en $R^4$ se describe el grupo de cuaterniones unitarios111.

      El Algebra de Lie se incorpora a la robótica mediante los algoritmos de computación en el software de la máquina. Conjunto de aplicaciones y componentes desarrolladas en algún lenguaje de programación (C#, Python, javascript, asp, php,..) -, que gestionan el sistema sensorial del robot.

      Estos algoritmos que aplican Algebra de Lie incluidos en el software, se utilizan en numerosos casos de robótica móvil (o cinemática), para mover estructuras mecánicas en la ejecución de tareas específicas.

      La aplicación del Algebra de Lie en Robótica tiene múltiples beneficios, que se resumen en los siguientes tópicos:

      • Precisión en el control de movimiento.

      • Capacidad de adaptación a obstáculos o perturbaciones.

      • Planificación de trayectorias eficientes y suaves.

      • Posibilidad de trabajar en entornos peligrosos o inaccesibles para los humanos.

      • Aumento de la productividad y la calidad en aplicaciones industriales.




      Rotación Rodilla-Tibia Humana

      Nótese que dentro de la serie de artículos y videos acerca álgebras y grupos de Lie que he publicado123, sólo me he enfocado desde la rotación de un objeto en torno a un punto de origen. Es decir, sin incluir aún los grupos de traslaciones en $R^n$, que ciertamente juegan un rol importantísmo en la robótica124.

      Posicionamiento Brazo Robótico~Plano Cartesiano

      Con álgebras de Lie es posible determinar los movimientos del brazo robótico, dentro de un espacio cerrado de operaciones, permitiendo calcular los ángulos de articulación necesarios para alcanzar una posición y orientación, - programada -, con precisión y eficacia.

      Particularmente con Algebra de Lie de $SO(3)$, dentro de un espacio vectorial tridimensional que puede describir el movimiento de rotación del manejador o manipulador, el cual actúa con exactitud en la colocación de un dispositivo o efector de extremo (la pinza por ejemplo).

      El Algebra de Lie del grupo euclídeo, describe las traslaciones en el espacio euclidiano tridimensional. La operación corchete de Lie, propia del Algebra de Lie permite calcular los conmutadores de las transformaciones infinitesimales que describen el movimiento del manejador de control.

      En general, un brazo robótico es un aparato mecánico programable diseñado para manipular objetos con exactitud. El posicionamiento de un brazo robótico en el plano cartesiano implica la especificación de sus coordenadas.

      Métricamente la posición relativa de los eslabones, - los cuales son objetos rígidos-, unidos entre sí por articulaciones y que se encadenan secuencialmente dentro del plano cartesiano, cuyas coordenadas son fundamentales para señalar la posición y relaciones geométricas del brazo robótico.


      Posicionamiento ~ Brazo de 2 Eslabones

      Es decir, la base del robot es un sistema de referencia fijo. De acuerdo a la figura previa,- que es un ejemplo de Cinemática Directa de un robot básico -, se observa:

      - El origen $O_1$ en torno a cual gira el eslabón $r_1$ es $(0,0)$.

      - El origen $O_2$ en torno a cual gira el eslabón $r_2$ es el extremo de $r_1$, i.e. $(r_1 \cos(\alpha),r_1 \sin(\alpha))$

      - El extremo del eslabón $r_2$ tiene coordenadas $(x,y)$, que están determinadas por la suma de los segmentos, tanto en el sentido horizontal de eje de las $x$, como en el sentido vertical de las $y$.

      - Los ángulos de rotación de ambos eslabones estarán dados por las condiciones de borde que se definan para el espacio de referencia donde funcione del robot.

      - El sistema del brazo robótico de la figura tiene 2 grados de libertad.

      Es decir, se asume que las articulaciones de brazo robótico le permiten moverse en distintas direcciones (dentro de determinados intervalos) y que cada articulación tiene un mecanismo eléctrico que puede girarlo hasta un ángulo determinado.

      Dentro del Método Geométrico de Cinemática Directa, la localización extrema $(x,y)$ del brazo de este simple robot de dos eslabones está determinado por la siguiente expresión:


      $$ x=r_1·cos(\alpha)+ r_2·cos(\alpha + \beta)\\\\ y=r_1·sin(\alpha)+ r_2·sin(\alpha + \beta)\\ z=0 $$
      [AL_1]


      Donde se puede desagregar en dos matrices (y un escalar asociado que es la longitud del eslabón):


      $$A_1=r_1\begin{pmatrix} \cos(\alpha)\\ sin(\beta)\\ \end{pmatrix}\quad \land\quad A_2=r_2\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta)\\ sin(\alpha+\beta)\\ \end{pmatrix} $$

      $$\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}=A_1 + A_2 $$


      La expresión matemática de las ecuaciones [AL_1], representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.

      Desde ahí, se puede configurar una matriz de transformación homogénea, dado que se tienen los valores de sus articulaciones y la matriz de rotación $R_z(\alpha)$, que se genera en torno al eje de las $z$ para su orientación.


       Pausa 
       

      Simulador - Desarrollo en Javascript 161


      En efecto, las coordenadas $(x, y)$, son el punto final, donde interesa determinar su posición.

      Este punto $(x,y)$ se calcula sumando las proyecciones de los eslabones o brazos sobre sus ejes cartesianos (Ver Figura Posicionamiento ~ Brazo de 2 Eslabones).

      Por un lado, la coordenada $x$ es la suma de los dos segmentos en el sentido horizontal y lo mismo para la coordenada $y$ en el sentido vertical.

      Nótese que las rotaciones del simulador constituyen un Grupo de Lie en los números reales (Ver Grupo de Lie-Enfoque Geométrico), dado que es un conjunto cerrado de rotaciones, con invariabilidad de la métrica, ortogonal, con determinante diferente de cero, asociativo, con elemento neutro e inversa. Además, continuo.


      Rotación Matrices Homogéneas en $R^3$

      Es necesario mencionar que dentro de las posibles aplicaciones del álgebra y los grupos de Lie, un párrafo acerca de las aplicaciones en robótica que tiene la rotación de matrices homogéneas y sus grafos que interpretan estos objetos. Técnicas que permiten desarrollar aplicaciones que sustentarán el autómata.


      Diag#1: Rotación Matrices Homogéneas en $R^3$

      El robot del diagrama $Diag\text{#}1$, es un conjunto de tres cuerpos rígidos, dos eslabones y una pinza.

      Dotado de articulaciones que permiten movimientos rotatorios entre sus partes.

      Este sistema de cuerpos rígidos articulados ($Diag\text{#}1$), es posible representarlo mediante un grafo $G$.

      Es decir, realizar una abstracción desde la Teoría de Grafos con puntos y líneas. $[B57]$


      Grafo Asociado a $Diag\text{#}1$


      $$M=\begin{pmatrix} \text{ } & \mathbf{a_{1}} & \mathbf{a_{2}} & \mathbf{a_{3}} & \mathbf{a_{4}} \\ \mathbf{ a_{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
      Matriz Adjunta

      Su grafo $G$ asociado consiste de cuatro puntos $V=\unicode{123} a_1,a_2,a_3,a_4 \unicode{125}$, donde cada par de puntos está unido por una línea. Llamemos $L=\unicode{123} l_{12},l_{23},l_{34}\unicode{125}$, las líneas vinculadas a sus puntos adyacentes, i.e. cada línea rotulada de acuerdo a sus subíndices incide en cada punto. Se dice que $G$ es un grafo $a(4,3)$ conexo. (Nótese que el número de líneas es igual al número de puntos menos $1$, $q=p-1$)

      Los elementos de la matriz adjunta $M$ señalan con el valor $1$ cuando existe adyacencia entre los puntos y con valor $0$ cuando no la hay. Nótese que $G$ es un grafo no direccionado.

      Adicionalmente, las líneas o arcos o aristas pueden ser direccionados. Este tipo de grafos se denominan también dígrafos o grafos cinemáticos y a los puntos se les denomina vértices. Las matrices que representan un dígrafo son de incidencia asimétrica.

      A continuación se ilustra el dígrafo o grafo el direccionado $G^*$ y su matriz $G^*$ asociada:

      Dígrafo Asociado a $Diag\text{#}1$


      $$M^*=\begin{pmatrix} \text{ } & \mathbf{a_{1}} & \mathbf{a_{2}} & \mathbf{a_{3}} & \mathbf{a_{4}} \\ \mathbf{ a_{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
      Matriz Adjunta Dígrafo


      A partir, de estos datos básicos de adyacencia se pueden configurar un conjunto de matrices que describen y controlan los movimientos del robot, mediante los algoritmos de computación que gestionan el sistema sensorial del robot.

      Un par de nodos rotatorios o articulaciones cinemáticas acopladas a los eslabones (líneas) del robot de la figura $Diag\text{#}1$, permiten un movimiento relativo entre ellos, de modo que este movimiento puede ser interpretado y descrito por el software que controla al robot, leyendo la data desde las matrices en $R^n$.


      Diag#2: Rotación Articulaciones $a_3$ (Pinza $l_{34}$) y $a_2$ (Eslabón $l_{23}$) en $R^3$

      Matriz basada primero en la adyacencia y posteriormente con matrices representativas que contienen más información rotatoria localizada en las celdas, donde existe relación, tanto con componentes subordinación, de jerarquía o de otras características de control.

      Resumiendo, diremos que un grafo $G(V,L)$ es el conjunto de todos los vértices y todas la líneas o arcos, donde surge una propiedad isomorfismo de grupos de $G$ con la matriz de adyacencia y también a la matriz de incidencia.

      Se puede visualizar el diagrama, su grafo asociado y sus matrices, que existe simetría entre esos objetos matemáticos, i.e. son invariantes bajo la acción de esas transformaciones dotadas de una inversa.

      $$ MIM_n=\begin{pmatrix} \text{V\L} & \mathbf {l_{01}} & \mathbf {l_{12}} & \mathbf {l_{23}} & \mathbf { l_{34}} \\ \mathbf{a_{1}} & 1 & -1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 0 & -1 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 0 & -1 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

      Para terminar este párrafo introductorio, se esboza una explicación del paso desde esta matriz de incidencia modificada (MIM) hacia un grupo de lie, donde cada entrada se transforma desde un escalar a una matriz, sustituyendo los $1$ por la matriz idéntica o unidad $I$ y los valores $0$ por la matriz nula.

      Puesto que el movimiento relativo entre dos eslabones (líneas) puede ser descrito por un giro de las articulaciones, i.e. todo movimiento relativo en el espacio del conjunto de elementos (figura $Diag\text{#}1$), es una combinación lineal de estos objetos que son linealmente independientes. A partir ahí, se construye un subespacio con restricciones de control para todos los posibles movimentos del robot. (Ver Obtencion del Modelo Dinámico Simbólico de Robots Ramificados Utilizando Grupos de Lie y Grafos , Universidad Carlos III de Madrid, 2016).

      Nótese que el proceso de transitar desde el brazo robótico de la figura ($Diag\text{#}1$), mediante grafos asociados, matrices, rotación y permutaciones, tiene por objeto reducir y obtener representaciones isomorfas con grupos de Lie, sobre los cuales se tiene información y es posible tabular la data, utilizando grupos de permutaciones y matrices.143

      Más adelante se puede agregar un conjunto de matrices de estado, donde sus articulaciones puede ir variando entre una rotación par (+1), impar (-1), o cero, de acuerdo al control paramétrico que asignado. (Ver Generadores SO(3) en el artículo Definición Algebra de Lie).



      De igual forma un robot puede ejecutar distintas funciones computacionales, a fin de generar códigos o emitir informes estadísticos o automatizar procesos de otra índole (Ver artículo RobotDocIRS, Video: Experimento ~ Supervisión y Entrenamiento ~ Inteligencia Artificial ~ Naïve Bayes ~ Learning Machine).

      La introducción cada día más creciente del Algebra de Lie en el desarrollo de la robótica, ciertamente está logrando estimaciones con más precisión, consistencia y estabilidad en los diseños de múltiples rotaciones que involucran superficies topológicas lisas de los grupos de Lie([B56]). Esto se manifiesta en el trabajo sobre variedades de rotación $SO(3)$106 y los enfoques de mapeo exponencial (Ver Video Grupo de Lie - Enfoque Exponencial).


      Pauli - Algebra de Lie - Robótica


  • Representaciones y Learning Machine
    • Así mismo, otros conjuntos de matrices de grupos de Lie que están disponibles para aplicaciones prácticas en diversos ámbitos. Por ejemplo, en el aprendizaje automático "Learning Machine", que es una rama de la inteligencia artificial, que cada día más juega un rol creciente en la investigación científica.

      En efecto, el Algebra de Lie proporciona, por un lado representaciones geométricas de datos, y por otro lado soluciones algebraicas específicas. Es decir, es posible asociar grupos de Lie a estas representaciones geométricas, mediante un concepto topológico y Teoría de Grafos  [B57]

      Las representaciones geométricas que generan los datos dentro de un contexto, - sobre el cual se tiene conocimiento y experiencia -, es posible establecer relaciones entre causa y efecto, con evidencias y resultados, entre la data de entrada y de salida.

      El proceso intermedio entre Entrada y Salida, generalmente ocurre con minería de datos, donde se estructura, analiza y formulan determinadas reglas sobre las cantidades masivas de datos de Entrada sin procesar. En la práctica, a estos datos se les aplican unos ciertos criterios de búsquedas, con el propósito de encontrar patrones y errores, a través de algoritmos matemáticos, computacionales y técnicas de minería de datos, que filtran, limpian, ordenan y validan los resultados de Salida.




      Datos: Entrada $\rightarrow$ Proceso $\rightarrow$ Salida


      Clasificación Modelo ~ Naïve Bayes


      En general, se trata de modelos predictivos, los cuales permiten pronosticar o responder preguntas. Las respuestas se expresan en clases, sean binarias o de atributos clasificados. Es decir, se predice información en base a datos numéricos agregados en clases y transformarse en herramientas de aprendizaje automático e inteligencia artificial. (Ver Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación Modelo de Variables Discretas y Experimento ~ Supervisión y Entrenamiento ~ Inteligencia Artificial ~ Naïve Bayes Learning Machine)


    • Espacio de Aprendizaje ~ Diagrama de Dynkin


    • Data$\rightarrow$Superficie$\rightarrow$Grafo$\rightarrow$Matriz Asociada$\rightarrow$Grupo de Lie

      Entonces, con las frecuencias relativas que generan estas enormes cantidades de datos (con o sin supervisión y entrenamiento), se ajusta una superficie que permite desarrollar algoritmos con una predicción bayesiana de la salida para las próximas entradas.

      Estas superficies generadas por la data, - sin supervisión y entrenamiento (sin etiquetar) -, pueden lograr que el sistema modele la estructura inherente de esos datos con precisión. Es decir, el aprendizaje no supervisado es útil en los casos en que el desafío es descubrir y configurar un algoritmo, con las implícitas relaciones en un conjunto de datos sin estructurar.

      Efectivamente, desde el análisis de datos se examina un conjunto enorme de registros capturados, con el propósito de sacar conclusiones y patrones, con los cuales es posible transformar la data en información.

      Es decir, para descubrir o ampliar conocimientos, sea por la experiencia que sustentan algunas hipótesis predeterminadas o para establecer nuevos patrones de comportamiento desde la muestra de datos analizada.

      La recolección de datos puede revelar clasificaciones que ayudan a confirmar o descartar supuestos acerca de los modelos existentes.

      En el caso de que el algoritmo muestre que el problema de aprendizaje se puede resolver, entonces se recurre a diagramar un espacio de aprendizaje (Diagrama de Dynkin113), conformado por los datos y su correspondiente Grupo de Lie.


      André Henriques - Lie algebras and their representations


      Para aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie, recomiendo ver la clase de "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015.


      Data Clasificada en Clases - Learning Machine

      En otras palabras, se puede configurar un algoritmo de aprendizaje geométrico con los Grafos Dynkin en Lie group Machine Learning (LML). Mediante este algoritmo se visualiza si el problema de aprendizaje tiene solución. De modo que una vez resuelto, con el Diagrama de Dynkin se configura desde ese espacio de aprendizaje. El diagrama es un grafo asociado con su matriz adjunta que se modeló, a partir de los datos que generaron la superficie.115.

      Luego, de acuerdo con ese Diagrama de Dynkin esbozado por la data recolectada, se encuentra un grupo de Lie asociado con su solución correspondiente. Por tanto, el grupo de Lie es una herramienta de base para la teoría del aprendizaje automático.

      Estas son solo algunas formas de mostrar gráficamente las representaciones de los generadores de Lie, y la elección gráfica adecuada dependerá del contexto específico y la dimensión de la representación.

      Un Diagrama de Dynkin es una herramienta utilizada en la teoría del Algebra de Lie, la geometría algebraica y la teoría de grupos para representar de manera visual la estructura de un grupo de Lie. Estos diagramas son especialmente útiles para clasificar. (Ver Video Variedad Diferenciable - Definición Algebra de Lie)

      Los diagramas de los generadores de Lie, como los del grupo $ \text{SL}(2,\mathbb{C}) $, pueden ser expresadas gráficamente de varias formas, dependiendo del contexto y la dimensión de la interpretación. Por ejemplo, para representaciones de Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$ de dimensión finita, como las representaciones fundamentales, se pueden tratar como espacios vectoriales tridimensionales.

      Los diagramas de Dynkin son una forma común de visualizar los álgebras de Lie simples y sus representaciones. En el caso de $ \text{SL}(2,\mathbb{C}) $, el álgebra de Lie correspondiente es $ \text{su}(2) $, donde es posible visualizar gráficamente sus generadores de la Algebra de Lie con Dynkin. Es importante tener en cuenta que para grupos de Lie más complicados, los Diagramas de Dynkin pueden ser mucho más grandes y complejos, pero este ejemplo simple ilustra los conceptos básicos detrás de ellos.



    • Software de Reconocimiento Facial

    • Por ejemplo, este mismo concepto del Diagrama de Dynkin se utiliza en los softwares de reconocimiento facial de un individuo. Ver video de National Geographic El Verdadero Tutankamón (Minuto 12:15) , donde en un segmento del video se muestra el método e investigación del profesor Amit Roy-Chowdhury, de la Universidad de California en Riverside (UCR), Estados Unidos.


      Imágenes de NatGeo: El verdadero Tutankamón
      Profesor Amit Roy-Chowdhury

      Malla sobre la superficie
      Rostro de Nefertiti

      Grafo representativo
      Rostro de Nefertiti

      Grafo representativo
      Rostro de Nefertiti

      En ese segmento del video se explica el procedimiento del algoritmo, que es resumidamente lo siguiente:

      Se crea una malla en la superficie de un rostro y se marcan los puntos de interés como los anillos de los ojos, la nariz, los pómulos y la boca. Es decir, se van identificando, localizando y mapeando los rasgos faciales, hasta alinear la malla con la cara de la persona.

      Desde ahí, el algoritmo determina un número finito de puntos de referencias, generando un grafo asociado con un patrón único de la cara.

      El algoritmo, ciertamente está montado sobre robustas bases de datos, dotado de un modelo de Learning Machine con atributos de clasificación, observaciones estadísticas iteradas, métricas, supervisión y entrenamiento.



    Cierre de Formalización

    Mencionado lo anterior acerca de ciertas aplicaciones del Algebra de Lie, volvemos al centro del presente artículo, donde nos enfocamos a partir de las Matrices de Pauli y los espacios vectoriales unitarios isométricos, i.e. conservan la métrica o norma, dotados de la operación binaria producto interno, con matrices cuadradas $M_{n \times 2}$, cuya determinante $det(M) \ne 0$ y son ortogonales $M·M^{T}=M^{T}·M$. Estos conjuntos de matrices que operan bajo la multiplicación de matrices se conocen como especiales, ortogonales de dimensión $n$, $G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)=1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$. (Ver Video I. Grupo de Lie ~ Enfoque Geométrico ~ Matrices de Pauli y Algebra de Lie)

    En los videos asociados (Enfoques Exponencial e Infinitesimal), se trata y describe la aplicación exponencial de un Grupo de Lie que permite establecer correspondencia entre el Algebra de Lie y el Grupo de Lie.


    Espacio Vectorial de las Matrices de Orden $n×n$

    Sea $Mn(K)$ el espacio vectorial de las matrices de orden $n×n$ sobre un cuerpo $K$. Donde esta estructura vectorial, se define con la operación ordinaria de multiplicación. Entonces cumple con las siguientes propiedades básicas:

    Si $A,B,C \in Mn(K)$, entonces:

      • Distributiva: $A(B + C) = AB + AC,\quad (A + B)C = AC + BC$

      • Asociativa: $A(BC) = (AB)C$

      • En general, $AB\ne BA$

      • La matriz identidad verifica: $AI = IA = A$

    En el presente caso, he trabajado con matrices ortogonales sobre el espacio n-dimensional donde el cuerpo K en este documento siempre lo consideramos como los Reales o Complejos.

    $SO(n)\longrightarrow \mathbf {\mathit{so(n)}}$ 106

    Es decir, conmutan los elementos, - que son matrices-, en un espacio de dimensión $n$, sobre un campo $K$




    Corchetes de Lie ~ Levi-Civita

    Utilizando el símbolo Levi-Civita107 en dos dimensiones, donde $+1$(par) representa la rotación en el sentido de los punteros del reloj y $-1$(impar) contrario al sentido de los punteros del reloj:

    $$ \epsilon _{ij} = \begin{cases} +1, & \text{si (ij) es (1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ij) es (2,1)} \end{cases} $$


    $SO(3)$:Rotación Tridimensional

    Ahora, en $SO(3)$,- i.e. en tres dimensiones-, los elementos generadores infinitesimales $\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación constituyen un Algebra de Lie:

    $$X_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

    $$X_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

    $$X_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

    Aquí comprobamos que:

    $$[X_1,X_2]=X_3,\qquad [X_2,X_3]=X_1,\qquad [X_3,X_1]=X_2$$

    Si se aplica la operación Corchetes de Lie, por ejemplo $[X1,X2]=X_1·X_2-X2·X_1$ operando con las matrices, se tiene:

    $$X1X2$$ $$-$$ $$X2X1$$ $$=$$ $$X3$$
    $$\downarrow$$   $$\downarrow$$   $$\downarrow$$
    $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$


    Rotación impar(-1) y par(+1) Dimensión 3

    A fin de simplificar las operaciones de permutación, se recurre a la utilización del símbolo Levi-Civita en tres dimensiones:

    $$ \epsilon _{ijk} = \begin{cases} +1, & \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,2,3)} \\\\ \text{ }0, & \text{si (ijk) ~ i=j o j=k o k=i} \end{cases} $$


    Matriz Dimensión 3 con Símbolo de Levi-Civita107

    Es decir, en vez de multiplicar explícitamente las matrices generadoras de $3\times 3$, sintetizamos con los indicadores del símbolo de Levi-Civita, donde $\epsilon=1$ si es una permutación par(+1), $\epsilon=-1$ si es una permutación impar(-1) y $\epsilon=0$ en cualquier otro caso. Por ejemplo, ilustremos tres casos:

    $$[X_2,X_3]=\\ \epsilon_{231}X_1=X_1\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{232}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{233}}X_3=0\\ $$ $$[X_1,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{121}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{122}}X_2=0\\ \epsilon_{123}X_3=X_3\\ $$ $$[X_2,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{211}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{212}}X_2=0\\ \epsilon_{213}X_3=-X_3\\ $$

    Por tanto, de esa forma se puede representar todas la permutaciones tridimensionales del Algebra de Lie, desde $SO(3)$. Una excelente ilustración es el Cubo de Rubik, cuya imagen animada se muestra a continuación, dado que es un ejemplo de un grupo de permutación. Los grupos de simetría $SO(n)$ son grupos de permutación, donde cada una de las rotaciones, en este caso con alguna de las caras del Cubo de Rubik-, constituye una permutación. Estas rotaciones forman un conjunto generador del Algebra de Lie.


    Definición Algebra de Lie 

    Video: Definición Algebra de Lie


    Continuación$\longrightarrow$

    Ver artículo complementario Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

    Ver Video: Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie 





    Notas Complementarias Adjuntas

    Cubo de Rubik
    Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación










    Videografía y Bibliografía

  • [B1]
    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/



  • [B5]
    Quantum Computing Explain
    David McMahon on 2007
    WILEY-INTERSCIENCE
    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
    https://www.academia.edu/31537353

    /_David_McMahon_Quantum_
    Computing_Explained_BookFi_1_

  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
    Google

  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
    Cambridge Massachusetts
    London England ~ 2004

  • [B8]
    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
    Departamento de Computación. Facultad de Informática.
    Universidad de la Coruña
    2O13

  • [B9]
    Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations
    Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert
    Clarendon Laboratory, Department of Physics
    University of Oxford, Oxford, OX1 3PU, U.K.
    (Submitted to Phys. Rev. A)
    16 de Noviembre 1995

  • [B10]
    Quantum computing for the determined
    Michael Nielsen on June 10, 2011
    http://michaelnielsen.org/blog/

    quantum-computing-for-the-determined/
    https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8

  • [B11]
    QC — Quantum Algorithm with an example
    Jonathan Hui
    Dec 6, 2018
    https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-

    algorithm-with-an-example-cf22c0b1ec31

  •  
  • [B12]
    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos

    relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
    https://en.wikipedia.org

  • [B13]
    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/
    watch?v=FYAkeCcOgeQ

  • [B14]
    Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015)
    Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model
    September 9, 2015
    Lecturer: Ryan O’Donnell Scribe: Ryan O’Donnell

  • [B15]
    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
    José Enrique González Cornejo
    Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación,
    CIDE, Santiago – Chile, 1990.
    Registro Nº81.183 - 1991 ~ Editoria Argué Ltda

  • [B16]
    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
    José Enrique González Cornejo
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy Junio 2014
    https://www.docirs.cl/
    algoritmo_cambio_base.htm

  • [B17]
    Algoritmo, Generación Distribución
    Aleatoria Discreta de Suma 1
    José Enrique González Cornejo
    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

    https://www.docirs.cl/
    Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm

  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
     Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B22]
    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos de los
    Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing &
    Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto

    Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre
    de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/
    computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/
    multCalculation.php

  • [B37]

    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]

    Así Cambiará el Mundo la
    Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli
    cuantica.blogspot.com/2009/08/

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

  • [B55]
    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
    1969
    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy







  • v.9.1/Marzo 2020 ~ Upgrade 17/04/2021



    v.9.2/Octubre 2023 ~ Upgrade 10/10/2023