Topologie ~ Wiskunde
De Gemeente Universiteit Amsterdam(GU)
“ $\mathbf{\text{Zij } x \in U}$ een open omgeving van x $\dots$

1974 JEGC


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 +     Definición Algebra de Lie ~ Variedad Suave



     Indice     




Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización


Capítulo extraído del Documento de Base:
Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie



José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021



Video Definición Algebra de Lie

 +    Videos Asociados ~ Algebra de Lie




Algebra de Lie $Mn(K)$ - Aplicaciones ~ Formalización

La intención de este capítulo, - previo a la definición formal del Algebra de Lie -, es precisar una introducción a la teoría del Algebra de Lie, mediante la descripción de herramientas básicas, tales como el grupo multiplicativo de los complejos diferente de Cero ($C^{*}$), distinguir el producto interno del espacio vectorial complejo, tratar la operación binaria Corchetes de Lie con Levi-Civita, señalar cómo se deriva hacia los grupos especiales y unitarios de Lie $SU(n)$87, de igual manera, explicar la idea de las variedades diferenciables y esbozar ciertas aplicaciones en robótica.


Planos Tangentes ~ Puntos Superficie de una Esfera118

Sea M una variedad topológica de dimensión $\mathit{n}$. Una carta o vecindad abierta en $M$ es un par $(U,\varphi)$, donde $U$ es un abierto de $M$ y $\varphi: U \rightarrow \varphi(U)=\hat{U}$ es un homeomorfismo de $U$ al abierto $\hat{U}$ de $\mathbf{R}^n$. La transformación $\mathit{\varphi}$ se le suele llamar cambio de coordenadas o función de transición.

Nótese que una variedad localmente tiene propiedades hereditarias del espacio euclídeo, pero no así con las propiedades globales. Por eso es necesario agregar condiciones globales a la definición, a fin de evitar excepciones. De ahí que, la definición de variedad topológica garantiza que $\forall p \in M$, es posible encontrar una carta $(U,\varphi)$, tal que $\mathit{p}$ esté en su dominio.

Ahora, si $\mathit{\varphi(p)}=0$ se dice el centro de la carta es $\mathit{p}$. (Sacando el vector constante $\mathit{\varphi(p)}$).


Variedad Superficie Esfera (carta) - Plano Cartesiano


  • Equivalencia Topológica ~ Homeomorfismo
  • En la búsqueda de encontrar funciones existentes continuas y biunívocas entre espacios, tenemos desde la trigonometría el ejemplo de la función tangente. Restringiendo su dominio a un intevalo abierto de los propios reales:

    Ciertamente, el intervalo abierto $U=]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[$, que es un subconjunto de los reales, se dice que es topológicamente equivalente al conjunto de todos los reales, dado que existe al menos una función continua y biyectiva $\mathbf{\varphi}$ entre estos dos conjuntos.

    Esto, los convierte en espacios homeomorfos116, i.e. $\forall x\in U \text{ }\exists \mathbf{\varphi(x)}\in R$. Además con $\mathbf{\varphi(x)}=0$ la carta o vecindad está centrada en $\mathbf{x}$.

    En efecto,la función:

    $$\mathbf{\varphi}:]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[\subset R\quad \longrightarrow \quad ]-\infty,+\infty[=R\quad \text{, donde } \mathbf{\varphi(x)}=tan(x)$$
    Nótese que

    $$x \longrightarrow -\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow -\infty \\ x=0 \quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}=0 \\ x \longrightarrow +\frac{\pi}{2}\quad \Rightarrow \mathbf{\varphi(x)}\longrightarrow +\infty$$

    El arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir, $\mathbf{\varphi^{-1}}(x)=arctan(x) \iff x=tan(\varphi(x))$.


                $]-\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2}[ \longrightarrow R$

  • Equivalencia Topológica ~ Isomorfismo

  • La equivalencia topológica denominada isomorfismo se distinque de un homeomorfismo cuando se trabaja sobre variedades suaves. En ese ámbito todos los isomorfismos son homeomorfismos, no así al contrario. Un homomorfismo es simplemente un isomorfismo que no es biyectivo.(Puede ser no suprayectivo)

    Supongamos $G$ y $H$ son grupos. Entonces se dice que $\varphi:G \longrightarrow H$ es un isomorfismo de grupos si $\varphi$ es bijectiva (i.e., $\varphi$ es inyectiva(1-1) y suprayectiva (sobre), donde se satisfacen las tres siguientes condiciones:

    • i) $\varphi(e) = e$, donde $e$ es el elemento neutro.

    • ii) $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \ \forall \ g \in G$

    • iii) $\varphi(gh) = \varphi(g)\varphi(h) \ \forall \ g,h \in G$

    En síntesis, $\varphi(a*b)=\varphi(a)·\varphi(b)\Rightarrow \forall a,b \in G$. Luego, la transformación $\varphi()$ preserva la operación de grupo. Además, para grupos finitos significa que $G$ y $H$ tienen el mismo tamaño y que para todo elemento de $G$ existe un único elemento en $H$

    Varios de los fundamentos de esos conceptos se trataron en los capítulos previos del documento Puertas de Pauli y Algebra de Lie, y sus videos complementarios que intentan describir sus resultados más significativos.

    El enfoque que aquí se expone es clásico y simple. El tema está profunda y abundantemente documentado en centenas de artículos académicos de Matemáticas108, Mecánica Cuántica, y diversas disciplinas científicas e ingenieriles.

    Es decir, existe una serie de tópicos atingentes que están lejos de los propósitos de este capítulo, el cual pretende formalizar el Algebra de Lie, a partir del uso de las Matrices de Pauli. Por tanto, en el presente artículo se tocan una serie de conceptos matemáticos involucrados como Topología, Variedades Diferenciables, Teoría de Grafos, u otras ramas complejas de la matemática que son brevemente tratados, en tanto introducción de introducciones.


    Aplicación del Algebra de Lie

  • Breve Preámbulo

  • Ejemplo de Homeomorfismo ~ La misma agua Vaso-Plato
    Equivalencia topológica116

    La aplicación del Algebra de Lie obliga a todos aquellos que trabajan en programación, desarrollo de sistemas y robótica a equiparse con más matemática. Especialmente a profundizar en el Algebra Lineal en el campo de las transformaciones lineales y un poco de Topología. Dicho de otra manera, avanzar en el concepto de espacio Euclidiano, donde cada punto $p \in M\subseteq R^2$, tiene una vecindad que es homeomorfa (función de un espacio topológico a otro) en un subconjunto abierto en $R^n$. Esta propiedad lo convierte en una variedad diferenciable117.

    El concepto topológico de variedad bidimensional es un abstracción matemática del cotidiano concepto de superficie, que conocemos en un hoja de papel, un tabla delgada de madera, un lamina metálica, un banda rectangular, etc.. Es decir, estos objetos topológicos responden a la Geometría Euclidiana. Lo interesante es que la comprensión y extensión a espacios $R^n$ del concepto de variedad, se realiza a través de superficies. Nótese que la ventaja de la generalización de $R^2 \longrightarrow R^n$, es que todas las versiones de $R$ tienen la misma estructura topológica.


    Hoja de Papel Tabla de Madera Lamina Metálica Banda de Cartulina

    Ahora, los espacios de dimensiones superiores equivalentes a una $n \text{-variedad}$, son espacios topológicos con las mismas propiedades euclídeas. Esto significa que $R^n$ preserva las mismas propiedades estructurales topológicas de la variedad, dado que $R \subset R^2 \subset R^3 \dots \subset R^n$.

    En el presente y en los diferentes artículos que hemos mencionado variedades, nos referimos a variedades compactas (y suaves), - generalmente de $2 \times 2$ -, basándonos en la existencia del teorema de clasificación de variedades compactas de dimensión $2$ [B59]. Teorema que facilita la comprensión y descripción de esta matemática topológica.


    Variedad Suave (o lisa) vs Variedad No Suave (quebrada)

    Obsérvese que un punto en una superficie curva o plana de un espacio vectorial, tiene una vecindad de puntos que lo transforma en una estructura topológica. Luego, mediante una función continua y biyectiva hacia una vecindad en otro espacio vectorial. Es decir, este mapeo es una variedad suave105.

    La vecindad de un punto interior es un conjunto abierto de puntos próximos a él. Estos entornos pueden tener diversas clases (abiertos, cerrados, conexos, inconexos,...). Dentro de un Espacio Métrico, la unión de entornos puede cubrir un espacio. Así mismo, topológicamente puede definirse una métrica entre puntos interiores bajo propiedades cualitativas, i.e. no necesariamente distancias o cualidades numéricas.



  • Robótica
  • La aplicación del Algebra de Lie y su empleo creciente en el ámbito de la robótica (Ver Lie theory for the roboticist, Joan Solà112), particularmente la matemática de las rotaciones basada en cuaterniones.




    Variedad114 de $R^3 \longrightarrow R^2$

    Esta relación de las operaciones en el grupo como muestra la figura "Variedad de $R^3 \longrightarrow R^2$" , que es curvo y no lineal, tienen un equivalente en el álgebra de Lie, que es un espacio vectorial lineal. Nótese que, en la esfera, - como por ejemplo Esfera de Bloch -, definida en $R^3$ no constituye un grupo de Lie, sólo se utiliza como una representación gráfica, dado que en $R^4$ se describe el grupo de cuaterniones unitarios111.

    El Algebra de Lie se incorpora a la robótica mediante los algoritmos de computación en el software de la máquina. Software, - o conjunto de aplicaciones -, que gestiona el sistema sensorial del robot.

    Estos algoritmos que aplican Algebra de Lie incluidos en el software, se utilizan en numerosos casos de robótica móvil (o cinemática), para mover estructuras mecánicas en la ejecución de tareas específicas.


    Rotación Rodilla-Tibia Humana

    Nótese que dentro de la serie de artículos y videos acerca álgebras y grupos de Lie que he publicado123, sólo me he enfocado desde la rotación de un objeto en torno a un punto de origen. Es decir, sin incluir aún los grupos de traslaciones en $R^n$, que ciertamente juegan un rol importantísmo en la robótica124.

    Rotación Matrices Homogéneas en $R^3$

    Es necesario mencionar dentro de las posibles aplicaciones del álgebra y los grupos de Lie, un párrafo acerca de las aplicaciones en robótica que tiene la rotación de matrices homogéneas y sus grafos que interpretan estos objetos. Técnicas que permiten desarrollar aplicaciones que sustentarán el autómata.


    Diag#1: Rotación Matrices Homogéneas en $R^3$

    El robot del diagrama $Diag\text{#}1$, es un conjunto de tres cuerpos rígidos, dos eslabones y una pinza.

    Dotado de articulaciones que permiten movimientos rotatorios entre sus partes.

    Este sistema de cuerpos rígidos articulados ($Diag\text{#}1$), es posible representarlo mediante un grafo $G$.

    Es decir, realizar una abstracción desde la Teoría de Grafos con puntos y líneas. $[B57]$

    $$M=\begin{pmatrix} \text{ } & \mathbf{a_{1}} & \mathbf{a_{2}} & \mathbf{a_{3}} & \mathbf{a_{4}} \\ \mathbf{ a_{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
    Grafo Asociado a $Diag\text{#}1$ Matriz Adjunta

    Su grafo $G$ asociado consiste de cuatro puntos $V=\unicode{123} a_1,a_2,a_3,a_4 \unicode{125}$, donde cada par de puntos está unido por una línea. Llamemos $L=\unicode{123} l_{12},l_{23},l_{34}\unicode{125}$, las líneas vinculadas a sus puntos adyacentes, i.e. cada línea rotulada de acuerdo a sus subíndices incide en cada punto. Se dice que $G$ es un grafo $a(4,3)$ conexo. (Nótese que el número de líneas es igual al número de puntos menos $1$, $q=p-1$)

    Los elementos de la matriz adjunta $M$ señalan con el valor $1$ cuando existe adyacencia entre los puntos y con valor $0$ cuando no la hay. Nótese que $G$ es un grafo no direccionado.

    Adicionalmente, las líneas o arcos o aristas pueden ser direccionados. Este tipo de grafos se denominan también dígrafos o grafos cinemáticos y a los puntos se les denomina vértices. Las matrices que representan un dígrafo son de incidencia asimétrica.

    A continuación se ilustra el dígrafo o grafo el direccionado $G^*$ y su matriz $G^*$ asociada:
    $$M^*=\begin{pmatrix} \text{ } & \mathbf{a_{1}} & \mathbf{a_{2}} & \mathbf{a_{3}} & \mathbf{a_{4}} \\ \mathbf{ a_{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$
    Dígrafo Asociado a $Diag\text{#}1$ Matriz Adjunta Dígrafo


    A partir, de estos datos básicos de adyacencia se pueden configurar un conjunto de matrices que describen y controlan los movimientos del robot, mediante los algoritmos de computación que gestionan el sistema sensorial del robot.

    Un par de nodos rotatorios o articulaciones cinemáticas acopladas a los eslabones (líneas) del robot de la figura $Diag\text{#}1$, permiten un movimiento relativo entre ellos, de modo que este movimiento puede ser interpretado y descrito por el software que controla al robot, leyendo la data desde las matrices en $R^n$.


    Diag#2: Rotación Articulaciones $a_3$ (Pinza $l_{34}$) y $a_2$ (Eslabón $l_{23}$) en $R^3$

    Matriz basada primero en la adyacencia y posteriormente con matrices representativas que contienen más información rotatoria localizada en las celdas, donde existe relación, tanto con componentes subordinación, de jerarquía o de otras características de control.

    Resumiendo, diremos que un grafo $G(V,L)$ es el conjunto de todos los vértices y todas la líneas o arcos, donde surge una propiedad isomorfismo de grupos de $G$ con la matriz de adyacencia y también a la matriz de incidencia.

    Se puede visualizar el diagrama, su grafo asociado y sus matrices, que existe simetría entre esos objetos matemáticos, i.e. son invariantes bajo la acción de esas transformaciones dotadas de una inversa.

    $$ MIM_n=\begin{pmatrix} \text{V\L} & \mathbf {l_{01}} & \mathbf {l_{12}} & \mathbf {l_{23}} & \mathbf { l_{34}} \\ \mathbf{a_{1}} & 1 & -1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 0 & -1 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 0 & -1 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

    Para terminar este párrafo introductorio, se esboza una explicación del paso desde esta matriz de incidencia modificada (MIM) hacia un grupo de lie, donde cada entrada se transforma desde un escalar a una matriz, sustituyendo los $1$ por la matriz idéntica o unidad $I$ y los valores $0$ por la matriz nula.

    Puesto que el movimiento relativo entre dos eslabones (líneas) puede ser descrito por un giro de las articulaciones, i.e. todo movimiento relativo en el espacio del conjunto de elementos (figura $Diag\text{#}1$), es una combinación lineal de estos objetos que son linealmente independientes. A partir ahí, se construye un subespacio con restricciones de control para todos los posibles movimentos del robot. (Ver Obtencion del Modelo Dinámico Simbólico de Robots Ramificados Utilizando Grupos de Lie y Grafos , Universidad Carlos III de Madrid, 2016).

    Nótese que el proceso de transitar desde el brazo robótico de la figura ($Diag\text{#}1$), mediante grafos asociados, matrices, rotación y permutaciones, tiene por objeto reducir y obtener representaciones isomorfas con grupos de Lie, sobre los cuales se tiene información y es posible tabular la data, utilizando grupos de permutaciones y matrices.143

    Más adelante se puede agregar un conjunto de matrices de estado, donde sus articulaciones puede ir variando entre una rotación par (+1), impar (-1), o cero, de acuerdo al control paramétrico que asignado. (Ver Generadores SO(3) en el artículo Definición Algebra de Lie).



    De igual forma un robot puede ejecutar distintas funciones computacionales, a fin de generar códigos o emitir informes estadísticos o automatizar procesos de otra índole (Ver artículo RobotDocIRS, Video: Experimento ~ Supervisión y Entrenamiento ~ Inteligencia Artificial ~ Naïve Bayes ~ Learning Machine).

    La introducción cada día más creciente del Algebra de Lie en el desarrollo de la robótica, ciertamente está logrando estimaciones con más precisión, consistencia y estabilidad en los diseños de múltiples rotaciones que involucran superficies topológicas lisas de los grupos de Lie([B56]). Esto se manifiesta en el trabajo sobre variedades de rotación $SO(3)$106 y los enfoques de mapeo exponencial (Ver Video Grupo de Lie - Enfoque Exponencial).


    Pauli - Algebra de Lie - Robótica


  • Representaciones y Learning Machine
  • Así mismo, otros conjuntos de matrices de grupos de Lie que están disponibles para aplicaciones prácticas en diversos ámbitos. Por ejemplo, en el aprendizaje automático "Learning Machine", que es una rama de la inteligencia artificial, que cada día más juega un rol creciente en la investigación científica.

    En efecto, el Algebra de Lie proporciona, por un lado representaciones geométricas de datos, y por otro lado soluciones algebraicas específicas. Es decir, es posible asociar grupos de Lie a estas representaciones geométricas, mediante un concepto topológico y Teoría de Grafos  [B57]

    Las representaciones geométricas que generan los datos dentro de un contexto, - sobre el cual se tiene conocimiento y experiencia -, es posible establecer relaciones entre causa y efecto, con evidencias y resultados, entre la data de entrada y de salida.

    El proceso intermedio entre Entrada y Salida, generalmente ocurre con minería de datos, donde se estructura, analiza y formulan determinadas reglas sobre las cantidades masivas de datos de Entrada sin procesar. En la práctica, a estos datos se les aplican unos ciertos criterios de búsquedas, con el propósito de encontrar patrones y errores, a través de algoritmos matemáticos, computacionales y técnicas de minería de datos, que filtran, limpian, ordenan y validan los resultados de Salida.




    Datos: Entrada $\rightarrow$ Proceso $\rightarrow$ Salida


  • Espacio de Aprendizaje ~ Diagrama de Dynkin

  • Entonces, con las frecuencias relativas que generan estas enormes cantidades de datos (con o sin supervisión y entrenamiento), se ajusta una superficie que permite desarrollar algoritmos con una predicción bayesiana de la salida para las próximas entradas.

    Estas superficies generadas por la data, - sin supervisión y entrenamiento (sin etiquetar) -, pueden lograr que el sistema modele la estructura inherente de esos datos con precisión. Es decir, el aprendizaje no supervisado es útil en los casos en que el desafío es descubrir y configurar un algoritmo, con las implícitas relaciones en un conjunto de datos sin estructurar.

    En el caso de que el algoritmo muestre que el problema de aprendizaje se puede resolver, entonces se recurre a diagramar un espacio de aprendizaje (Diagrama de Dynkin113), conformado por los datos y su correspondiente Grupo de Lie.

    Para aquellos que requieran profundizar sobre las representaciones de Dynkin y Algebra de Lie, recomiendo ver la clase de "Lie Algebra Representations" del profesor André Henriques (Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford) publicada en Youtube en agosto del 2015.


    Data$\rightarrow$Superficie$\rightarrow$Grafo$\rightarrow$Matriz Asociada$\rightarrow$Grupo de Lie$\longrightarrow$
    Data Clasificada en Clases - Learning Machine

    En otras palabras, se puede configurar un algoritmo de aprendizaje geométrico con los Grafos Dynkin en Lie group Machine Learning (LML). Mediante este algoritmo se visualiza si el problema de aprendizaje tiene solución. De modo que una vez resuelto, con el Diagrama de Dynkin se configura desde ese espacio de aprendizaje. El diagrama es un grafo asociado con su matriz adjunta que se modeló, a partir de los datos que generaron la superficie.115.

    Luego, de acuerdo con ese Diagrama de Dynkin esbozado por la data recolectada, se encuentra un grupo de Lie asociado con su solución correspondiente. Por tanto, el grupo de Lie es una herramienta de base para la teoría del aprendizaje automático.



  • Software de Reconocimiento Facial

  • Por ejemplo, este mismo concepto del Diagrama de Dynkin se utiliza en los softwares de reconocimiento facial de un individuo. Ver video de National Geographic El Verdadero Tutankamón (Minuto 12:15) , donde en un segmento del video se muestra el método e investigación del profesor Amit Roy-Chowdhury, de la Universidad de California en Riverside (UCR), Estados Unidos.


    Imágenes de NatGeo: El verdadero Tutankamón
    Profesor Amit Roy-Chowdhury

    Malla sobre la superficie
    Rostro de Nefertiti

    Grafo representativo
    Rostro de Nefertiti

    Grafo representativo
    Rostro de Nefertiti

    En ese segmento del video se explica el procedimiento del algoritmo, que es resumidamente lo siguiente:

    Se crea una malla en la superficie de un rostro y se marcan los puntos de interés como los anillos de los ojos, la nariz, los pómulos y la boca. Es decir, se van identificando, localizando y mapeando los rasgos faciales, hasta alinear la malla con la cara de la persona.

    Desde ahí, el algoritmo determina un número finito de puntos de referencias, generando un grafo asociado con un patrón único de la cara.

    El algoritmo, ciertamente está montado sobre robustas bases de datos, dotado de un modelo de Learning Machine con atributos de clasificación, observaciones estadísticas iteradas, métricas, supervisión y entrenamiento.



    Cierre de Formalización

    Mencionado lo anterior acerca de ciertas aplicaciones del Algebra de Lie, volvemos al centro del presente artículo, donde nos enfocamos a partir de las Matrices de Pauli y los espacios vectoriales unitarios isométricos, i.e. conservan la métrica o norma, dotados de la operación binaria producto interno, con matrices cuadradas $M_{n \times 2}$, cuya determinante $det(M) \ne 0$ y son ortogonales $M·M^{T}=M^{T}·M$. Estos conjuntos de matrices que operan bajo la multiplicación de matrices se conocen como especiales, ortogonales de dimensión $n$, $G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)=1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$. (Ver Video I. Grupo de Lie ~ Enfoque Geométrico ~ Matrices de Pauli y Algebra de Lie)

    En los videos asociados (Enfoques Exponencial e Infinitesimal), se trata y describe la aplicación exponencial de un Grupo de Lie que permite establecer correspondencia entre el Algebra de Lie y el Grupo de Lie.


    Espacio Vectorial de las Matrices de Orden $n×n$

    Sea $Mn(K)$ el espacio vectorial de las matrices de orden $n×n$ sobre un cuerpo $K$. Donde esta estructura vectorial, se define con la operación ordinaria de multiplicación. Entonces cumple con las siguientes propiedades básicas:

    Si $A,B,C \in Mn(K)$, entonces:

    • Distributiva: $A(B + C) = AB + AC,\quad (A + B)C = AC + BC$

    • Asociativa: $A(BC) = (AB)C$

    • En general, $AB\ne BA$

    • La matriz identidad verifica: $AI = IA = A$

    En el presente caso, he trabajado con matrices ortogonales sobre el espacio n-dimensional donde el cuerpo K en este documento siempre lo consideramos como los Reales o Complejos.

    $SO(n)\longrightarrow \mathbf {\mathit{so(n)}}$ 106

    Es decir, conmutan los elementos, - que son matrices-, en un espacio de dimensión $n$, sobre un campo $K$


    Definición Algebra de Lie 

    Video: Definición Algebra de Lie




    Ejemplo Introductorio $\mathbf {z} \in C$ ~ Grupo de Lie

  • Normalización (Ver Complejos Normalizados en Coordenadas Polares)
  • Se extraen algunos párrafos del documento central Complejos Normalizados en Coordenadas Polares" concernientes a la Normalización de un número complejo, a fin de desarrollar un ejemplo del Grupo de Lie102 en $S(1)$ de rotación pasiva generado por un determinado vector normalizado $ z\in C$ en torno al origen $0$.

    La idea es mostrar simplemente que el vector $\vec {z_{\theta}}$ cuya norma $|z|=1$, es un operador que al multiplicarlo vectorialmente a otro vector cualquiera en ese plano, lo va a rotar pasivamente en un ángulo $\theta$99.

    Cada rotación finita puede descomponerse en un número infinito de rotaciones infinitesimales, ya que el ángulo de rotación puede variar continuamente como $(\alpha + d(\theta)) \quad \text{, donde } d(\theta)\longrightarrow 0$ (Ver Aproximación Fundamental).

    $$n \longrightarrow \infty \Rightarrow \frac{\theta}{n} \longrightarrow 0$$
    $$\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{\theta}{n})}$$

    Desde un punto físico, esto significa como experimentar la rotación de un sólido rígido que resulta del movimiento de uno de sus puntos, manteniendo su posición invariante.



    Rotación Pasiva en el Plano $C$

    Dicho matemáticamente, se operará bajo el concepto de espacio de Hilbert o espacio euclídeo, con vectores y matrices unitarias, permite ilustrar gráficamente, - normalizar sobre el círculo unitario (conexo) -, un vector $z \in C$, también denotado como $\mathbf {z_{\theta}}$ que caracteriza derechamente una transformación de rotación pasiva o Grupo de Lie109.

    Por tanto, se comenzará en los complejos con $S(1)\subseteq C^{*}$ (Grupo Discreto), con la restricción $|z|=1$, donde $\unicode{123}x \in R \text{| } x \longrightarrow e^{2\pi i x}\unicode{125}$. Es decir, con el conjunto de unidades complejas que es un Grupo Especial Unitario de Lie (Dim $G =1$) de dimensión uno o grado de libertad del sistema igual $1$, para posteriormente escalar ejemplos en $SO(2), SO(3),\dots $110


    Función javascript - Normalización

    A continuación, el código de una función en javascript para la normalización de un número complejo $z$, ingresado en forma separada su parte real e imaginaria.

    <script language="javascript"  type="text/javascript" >

      function Normaliza_Complejo(z_real,z_imag)
    {
       z_real=Number(z_real);
       z_imag=Number(z_imag);

       /* Se valida previamente que z_real y z_img sea números reales */
     
      var modulo=Math.pow(z_real,2) + Math.pow(z_imag,2);
      modulo=Math.abs(modulo);
      var raiz_modulo=Math.pow(modulo,0.5);
      if (raiz_modulo!=0)
      {
       var u_real=z_real/raiz_modulo;
       var u_imag=z_imag/raiz_modulo;
        if (z_imag >=0)
         {
          var signo_imag=" + i ";
         }
    else
         {
         var signo_imag=" - i ";
        }
      }
       alert(u_real + signo_imag + Math.abs(u_imag));
    }
     
    ///// EJEMPLOS
    Normaliza_Complejo(33,-15);
    Normaliza_Complejo(-7,13);
    Normaliza_Complejo(-3,-8);

     </script>

    Simular con Javascript
    Parte Real Parte Imaginaria
    + i    
      

    Ejemplo Pasos Normalización: $\mathbf {z \longrightarrow e^{i\theta}}$

    Un número complejo, $z \in C$, tal que $z = x + iy$  también se representa en coordenadas polares como $z = r (cosΘ + i·senΘ)$. Para ese efecto, se establece un plano cartesiano donde el eje de la ordenadas $Y$ se utiliza para el coeficiente del imaginario $\mathit {i}$ y el eje de las abcisas $X$ para el valor de la parte real.

    Es decir, inicialmente todo $z \in C$ puede expresarse cartesiana y gráficamente como un par ordenado $(x,y)$ sobre el plano y el vector que va desde el origen hasta esas coordenadas lo llamaremos $\overrightarrow r$.


    Sea $z = 3 - i·4$

    $|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = 3^{2} + (-4)^{2} = 25$

    $|z|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

    $|z| = \sqrt{25} = 5$

    $u =\frac{3}{5} - i\frac{4}{5} \Rightarrow |u|^{2}=1$

    $tan(\Theta)=\frac {x}{y}$ , donde   $x = r·cos(Θ) , y = r·sin(Θ)$

    $Θ=tan^{-1}(\frac{x}{y})=tan^{-1}(\frac{-3}{4})=-0.643501109 $

    $∴\quadΘ = -0.643501109$

    $\Rightarrow Θ=2π- 0.643501109 = 5.63$

    $\Rightarrow\quad u = cos(5.63)+ i·sin(5.63)$

    $\Rightarrow\quad u = e^{iΘ} = e^{i(5.63)}$



    Representación Gráfica de $z = 3 - i·4$


    Normalizar un número complejo $\mathbf z$ en su forma polar o bajo la fórmula de Euler18, donde se trató $\vec { \mathbf u}$ como la normalización de cualquier vector $\vec {\mathbf z} \in C$, de la forma $\mathbf {z= x + iy} \text{ con } \mathbf {x,y} \in R \text{, }\quad \mathbf {i}=\sqrt{-1}$.

    Es decir, $\mathbf {\vec u} = e^{iΘ}=cosΘ + i·senΘ$, nos aseguramos que $|u|^{2}=cos^{2}Θ + sen^{2}Θ=1$.


    $S(1)$: Grupo de Lie $\iff \vec {\mathbf{ z}} \text{, donde } |z|=1$

    En otras palabras, cualquier elemento $\vec {\mathbf{ z}} \in C$ normalizado, i.e. cuyo modulo $\mathbf{|z|}=1$, representa un operador para aplicar una rotación pasiva en torno al origen $0$ en el plano. Este operador, cumple la caracterización de Grupo de Lie sobre el cuerpo de los Complejos109.


    Operador $\mathbf {z_{\theta}}$ ~ Grupo de Lie

    Sea $\mathbf {z_{\theta}}$ el operador lineal que utilizaremos en el ejemplo, el cual lo aplicamos a un vector cualquiera definido en el plano complejo $\mathbf {C}$ de la figura, de la forma $\mathbf {v}=\overline {OQ}$ de ángulo $\alpha$. Es decir, al multiplicarlo vectorialmente por $\mathbf z$, será rotado en un ángulo $\theta$, obteniendo un vector resultante $\mathbf w$ cuyo ángulo con respecto al eje de la $X$, será de $\theta + \alpha$:

    $$ \mathbf {w = z· v} \text{, donde } \mathbf{|w|=|zv|=|v|} \text{, dado que } \mathbf{|z|}=1$$

    Sea $v= \mathbf{e}^{i\alpha}\Rightarrow z· w = {e}^{i(\theta + \alpha)}$


    Notas Atingentes al Grupo de Lie en $C$


    $1$. Producto Interno ~ Espacio Vectorial Complejo

    Recordar que el producto interno en un espacio vectorial complejo, se define de manera diferente al producto interno en los Reales. En efecto,

    Sea $V$ un espacio vectorial complejo. Una función $ \mathfrak g: V × V \longrightarrow V \in C$ se denomina producto interno en $V$, si cumple con las siguientes propiedades:

    $ii)\quad \mathfrak g$ es lineal con respecto al segundo argumento:

    $$\mathfrak g(u, v + w) = \mathfrak g(u, v) + \mathfrak g(u, w) \qquad \forall u, v, w \in V $$

    $$\mathfrak g(u, \lambda v) = \lambda \mathfrak g(u, v)\qquad \forall u, v \in V \qquad \forall \lambda v \in C$$

    $ ii)\quad \mathfrak g$ es hermítica($g^{†}=(g^{T})^{*})$:

    $$\mathfrak g(u, v) = \overline{\mathfrak g(v, u)} \qquad \forall u,v \in V$$

    $iii)\quad \mathfrak g$ es definida positiva:

    $$\mathfrak g(v, v) \gt 0 \qquad \forall v \in V \text{ \ }\unicode{123}0 \unicode{125}$$.

    $2$. $(C^{*},·)$: El Grupo Multiplicativo de los Complejos Diferente de Cero

    Dado que se hace mención al grupos discretos $C^{*}$. A continuación, se establecen y descripción del grupo multiplicativo de los números complejos diferente de cero.

    Aparte de la definición de grupo80, equivalentemente se pueden postular con los siguientes puntos para constituir un grupo:

  • i) Se define un conjunto $S \ne \phi$

  • ii) Se define una operación binaria $·$ en $S$

  • iii) Se verifica que $(S,·)$ tiene un elemento neutro

  • iv) Se verifica que $(S,·)$ es un semigrupo, i.e. que es asociativo

  • v) Se verifica que todo elemento de $S$ tiene un inverso.



  • A continuación, se verifica con cada uno de estos puntos previamente especificados que $C^*$, es un grupo multiplicativo de los números complejos diferente de cero.

    • i) Sea $C^*$ el conjunto de los números complejos diferente de cero:

      $$C^{*}=\unicode{123} z \in C \text{ | } z = a + ib \text{, donde } z \ne (0 + i·0)\quad \land \quad a,b \in R \unicode{125}\qquad \color{red}{✓}$$
      Recuérdese que $i^2=-1$


    • ii) Se reitera la definición de la multiplicación de números complejos, los cuales es posible multiplicarlos como si fueran polinomios. Donde $(a,b,c,d,e,f \in R \quad \land \quad i=\sqrt{-1})\qquad \color{red}{✓}$

      $$(a + i· b)(c +i· d)=ac + i^2 · bd + i· ad + i· bc (ac-bd) + i·(ad+c) \qquad \color{red}{✓}$$
      Esta operación binaria se da en $C^{*}$, porque su resultante $(ac-bd)+i(ad+c)$ es un elemento único en $C^{*}$. Es decir, no pueden ser simultáneamente iguales a cero.


    • iii) $1 + i·0 = 1 \in C^{*}$ y es evidente que $1$ es el neutro multiplicativo de $(C^{*},·)\qquad \color{red}{✓}$


    • iv) Consideremos tres números $(a + i·b),(c + i·d),(e + i·f) \in C^{*}$. Entonces:


      $$(a + i·b)(c + i·d)(e+ i·f)=[(ac - bd)+i·(bc + ad)](e + i·f)$$
       
      $$=[(ac-bd)e-(bc+ad)f)] + i·[bc+ad)e+(ac-bd)f] \qquad \color{red}{✓}$$
      Por otra parte,


      $$(a + i·b)[(c + i·d)(e + i·f)]=(a + i·b)[(ce-df) + i·(de + cf)]$$

      $$=a(cd-ef)-b(de+cf) + i·[b(ce-df) + a(dc+cf)]$$

      Luego, esta igualdad implica:


      $$(a + i·b)[(c + i·d)(e + i·f)]=[(a + i·b)(c + i·d)]+(e + i·f)\qquad \color{red}{✓}$$


    • v) Ahora, se comprobará la existencia de los inversos. Considérese $z = (a + i· b) \in C^{*}$.

      Entonces $a \ne 0 \text{ y } b \ne 0 $, i.e. $a \text{ y } b$ no son simultáneamente cero. Esto implica que $(a^{2}+b^{2})\ne 0$ y por tanto:

      $$\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} + i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})} \in C^{*}\qquad \color{red}{✓}$$
      Más aún:

      $$\Bigl(\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} - i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})}\Bigr)(a + i·b)=1=(a + i·b)\Bigl(\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} - i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})}\Bigr) \qquad \color{red}{✓}$$
      En otras palabras, todo número complejo $z=a + i·b$ no nulo tiene un inverso multiplicativo. Es decir, existe $z^{-1}$ tal que $z^{-1}z=zz^{-1}=1$

      $$ \begin{equation*} z^{-1} = \frac{a-i·b}{ a^2 + b^2 }. \end{equation*} $$
      En la normalización de un número complejo $z=a + i·b$, se demostró que al multiplicar por su conjugado, definido como $\overline {z}=(a - i·b)$ , resulta $|z|^2=z·\overline {z} = a^2+b^2 \Rightarrow |z|=1$.


    • De esta forma se ha demostrado que $C^{*}$ es un grupo, el cual es denominado Grupo Multiplicativo de los Números Complejos Diferente de Cero.


    Continuación$\longrightarrow$

    Ver artículo complementario Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

    Ver Video: Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie 





    Notas Complementarias Adjuntas

    Cubo de Rubik
    Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación












    Videografía y Bibliografía

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    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
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    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
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    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

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    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
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    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
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    Inversión de Matrices de Números Complejos
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    Patricio Collao Caiconte

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    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
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    MSc. Human Technology Interaction
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    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
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    Ignacio Cirac
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    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

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    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
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    Accessible Math in All Browsers


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    Teoria de Grupos
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    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
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  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

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    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
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    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
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    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
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    Lie Groups:Introduction,
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    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

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    Graph Theory,
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    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy









  • v.9.1/Marzo 2020 ~ Upgrade 17/04/2021










     +  Contacto con el Autor







































    El robot de la figura es un conjunto de tres cuerpos rígidos, dos eslabones y una pinza.

    Con articulaciones que permiten movimiento rotatorios entre sus partes. A este sistema de cuerpos rígidos articulados, es posible representarlo mediante un grafo $G$. Es decir, realizar una abstracción desde la Teoría de Grafos con puntos y líneas.[F.Harary]


    Grafo Asociado- Diagrama Rotación Matrices Homogéneas


    El grafo $G$ consiste de cuatro puntos $\unicode{123} a_1,a_2,a_3,a_4 \unicode{125}$, donde cada par de puntos está unido por una línea. Llamemos $\unicode{123} l_{12},l_{23},l_{34}\unicode{125}$, las líneas vinculadas a sus puntos adyacentes, i.e. cada línea rotulada de acuerdo a sus subíndice incide en cada punto. Se dice que $G$ es un grafo $a(4,3)$ conexo.

    Este grafo tiene una matriz $M$ adjunta asociada:

    $$M=\begin{pmatrix} \text{ } & \mathbf{a_{1}} & \mathbf{a_{2}} & \mathbf{a_{3}} & \mathbf{a_{4}} \\ \mathbf{ a_{1}} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathbf{a_{2}} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \mathbf{a_{3}} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \mathbf{a_{4}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$