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Definición Algebra de Lie $M_{n}(K)$

Capítulo extraído del Documento de Base:
Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie

José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021

 


Video Definición Algebra de Lie


Definición Algebra de Lie

Un Algebra de Lie $Mn(K)$ se define en un espacio vectorial sobre un campo $K$119. Específicamente es un espacio vectorial de matrices de orden $n×n$, dotado con una operación binaria propia $[\text{ }· \text{, · }]$ denominada Corchetes de Lie, donde dicha operación debe cumplir las siguientes propiedades90:

i) Bilineal

$[\alpha X +\beta Y,Z]=\alpha[X,Z]+\beta[Y,Z]$ $\land$ $[Z,+\alpha X+\beta Y]=\alpha[Z,X]+\beta[Z,Y]$ , donde $\alpha, \beta \in K$

ii) Antisimétrica

$([X, Y] = -[Y, X]) (\Rightarrow [X,X]=0)$

iii) Satisfacer la Identidad de Jacobi:

$([X, [Y, Z]] + [X, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0)$.

Luego, $Mn(K)$ es un álgebra asociativa no conmutativa con elemento unidad 122.



Este conjunto y operación se definen:

$$[\text{ }· \text{, · }]: Mn(K) × Mn(K) \longrightarrow Mn(K)$$

$$(X, Y) \longrightarrow [X, Y] = XY - YX$$

$$\text{ Donde } X,Y,Z \in Mn(K)$$

En el presente caso, se trabaja con matrices ortogonales sobre el espacio n-dimensional, donde el cuerpo $K$ en este documento siempre lo consideramos como los Reales o Complejos.

$SO(n)\longrightarrow \mathbf {\mathit{so(n)}}$ 106

Es decir, conmutan los elementos, - que son matrices-, en un espacio de dimensión $n$, sobre un campo $K$.


Se dice que $Mn(K)$ (o $\large{\mathfrak {g}}$) es un Algebra de Lie con esta operación Corchetes de Lie (medición o conmutador de dos matrices).

Toda Algebra de Lie de dimensión finita se obtiene fundamentalmente bajo esta forma.


 +  Nota: Definición como Variedad Diferenciable



El conmutador $[XY]=XY - YX$ se considera como una medida. Nótese que actúan las operaciones ordinarias del álgebra de matrices donde la multiplicación matricial no es conmutativa.

Efectivamente, el espacio vectorial de los generadores infinitesimales de un grupo80 matricial de Lie conforma un Algebra de Lie en $SO(n)$82.(La propiedad de antisimetría es equivalente a: $[X,X]=XX-XX=0 = 0, \forall X\in g$).


Transformación desde $SO(n)$ hacia un Algebra de Lie


La operación es una transformación lineal de la forma:

$$[X,Y]: G × G\longrightarrow G \text{, donde } \forall X,Y,Z \in G$$
En otras palabras, el producto vectorial, - no sólo de vectores sino también matrices-, también está dentro de $G$. Por esa razón se le denomina el Algebra de Lie asociada al grupo $G$. 128

Donde $G$ es un grupo de $SO(n)$. Es decir, la operación binaria Corchete de Lie, transforma un par ordenado de matrices desde el producto vectorial $G × G$ hacia una Algebra de Lie (Nuestra notación será $g \lor Mn(K)$, ambos indistintamente).

En otras palabras, $G$ es un grupo especial ortogonal de dimensión $n$109:

$$G=\unicode{123} M \in SO(n) \text{/} det(M)=1 \land M^{T}M=M^{T}M=I\unicode{125}$$

Conexión Grupo de Lie con Mapeo Exponencial

Una conexión elemental de los Grupos de Lie con las Algebras de Lie, se realiza entonces mediante el mapeo exponencial:

$$Exp: SO(n)\longrightarrow \mathit{so(n)}$$

Efectivamente, cuando se trabaja sobre los números complejos con la matriz $X \in SO(n)$ como exponente de la constante $\large{e}$, se facilitan una gran cantidad de propiedades lineales. Nótese que $X^0=I$, la serie de potencias siempre converge estando la exponencial de $X=X_{1 \times 1}$ bien definida.

Donde el conjunto de los generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X,Y,Z\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación definen un Algebra de Lie. (Ver Grupo de Lie - Enfoque Infinitesimal y Grupo de Lie - Enfoque Exponencial).

Obsérvese que este mapeo exponencial nos indica básicas propiedades para transformar la suma hacia la descomposición en factores de un producto. Es decir, propiedades que nos ayudarán a comprender las rotaciones infinitesimales de la forma:

$$ \begin{bmatrix}R(\frac{\theta}{n})\end{bmatrix}^n=(I+A)^n =\left[ \begin{array}{c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} +(\frac{\theta}{n}) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{array} \right]^n $$
(Ver Enfoque Infinitesimal~ Aplicando Serie de Taylor)

En efecto, se demuestra desde la serie de Taylor de $\large{e}^X$, junto a la propiedad antisimétrica de los corchetes de Lie $([XY]=-[YX])$ conforman una relación simple mediante el mapeo exponencial. (Serie que es convergente para matrices $M_{n \times n} \in SO(n)$, tanto en $\Bbb R$ como $ \Bbb C$):

$$exp: G × G\longrightarrow G \text{, sobre } \Bbb C$$
$$exp(X)=\large{e}^X= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}X^k= I+ X + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{3!}X^3+\frac{1}{4!}X^4 + \frac{1}{5!}X^5 + \frac{1}{6!}X^6+\frac{1}{7!}X^7+ \cdots\cdots$$

Utilizando las conocidas propiedades de las potencias de igual base:

$$ \rhd \text{ } [XY]=0 \Rightarrow \large{e}^{X+Y}=\large{e}^X\large{e}^Y$$
Y la conocida propiedad de una potencia con exponente negativo:

$$ \rhd \text{ } \forall X\in G \Rightarrow (\large{e}^X)^{-1}=\large{e}^{-X}$$
Dado que:
$$(\large{e}^X)^{-1}=\frac{1}{\large{e}^X}=\large{e}^{-X}$$

Luego, cuando las matrices $X,Y \in G$ conmutan, entonces se pueden aplicar todas las operaciones algebraicas que se utilizan con los números complejos.




  • Generador $SO(2)$


  • El generador de $SO(2)$ es la matriz antisimétrica93:

    $$X=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

    Este generador $X \in SO(2)$, se obtiene del diferencial de la matriz $M_{2 \times 2}(\theta)$ evaluada en $\theta = 0$:

    $$\frac{dM}{d\theta}\mid_{\theta=0}$$
    Efectivamente:
    $$M_{2 \times 2}(\theta)=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{pmatrix}$$
    $$\Rightarrow$$
    $$\frac{dM}{d\theta}=\begin{pmatrix} -sin(\theta) & -cos(\theta) \\ cos(\theta) & -sin(\theta) \\ \end{pmatrix} $$
    $$\Rightarrow$$
    $$\frac{dM}{d\theta}\mid_{\theta=0}=\begin{pmatrix} -sin(0) & -cos(0) \\ cos(0) & -sin(0) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=X$$

    Luego, el conjunto especial de matrices ortogonales de $2 \times 2, SO(2)$, - i.e. en dos dimensiones. Si se define la operación Corchete de Lie como idénticamente cero (i.e. la rotación que da donde mismo), entonces todo espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie Abeliana trivial i.e. Conmutan completamente). Si no es $0$, significa que las rotaciones conmutan, como se ilustra en la siguiente figura:


    Rotación impar($-1$) y par($+1$) Dimensión 2



    Rotación Par($+1$) Dimensión 2

    Una propiedad importante de la definición de la operación es la antisimetría:

    $[XY]=XY-YX=-[YX]$,

    donde $X,Y \in SO(2) \land X \ne Y$


    Recordar que esta definición de la operación Corchete de Lie trabaja sobre un espacio vectorial de matrices, donde la multiplicación entre matrices no es conmutativa. En este caso, se ilustra con matrices en $SO(2) \text{ y } $SO(3)$ $.

    La finalidad de iniciar con los grupos de Lie $SO(2)$ y $SO(3)$, es que son objetos geométricos visualizables en el plano euclidiano, que nos llevan al marco general de los siguientes pasos abstractos que se aplican con el Algebra de Lie.120

    La rotación de objetos en un espacio tridimensional se realiza desde $SO(2)$, puesto que, - por ejemplo en la figura -, se está rotando el objeto en torno al eje $z$ en la planta, el cual apunta hacia arriba, i.e. se está rotando un objeto sólo en dos dimensiones en el plano $xy$. Lo mismo con las otras rotaciones independientes localizadas en la parte superior del robot que se van encadenando.


    $SO(2)$ Brazo Robótico en $R^3$.Múltiples Rotaciones



    Corchetes de Lie ~ Levi-Civita

    Utilizando el símbolo Levi-Civita107 en dos dimensiones, donde $+1$(par) representa la rotación en el sentido de los punteros del reloj y $-1$(impar) contrario al sentido de los punteros del reloj:

    $$ \epsilon _{ij} = \begin{cases} +1, & \text{si (ij) es (1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ij) es (2,1)} \end{cases} $$

  • Generadores $SO(3)$
  • La rotación de matrices $M$ (frecuentemente denotada también como $R_{\theta}$) constituye una representación de los $SO(3)$ ('Special Orthogonal Group of Dimension $3$').

    Luego, las matrices $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$, unido a la matriz identica $I=\mathbf {1}$, que describiremos a continuación son también denominadas Generadores Infinitesimales de $SO(3)$, dado que toda rotación de un ángulo infinitesimal $d\theta$ puede ser expresado como:

    $$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta) \mu \vec P$$
    $$M(d\theta,\vec \mu)=\mathbf {1} +(d\theta)(\mu_{1}X_1+\mu_{2}X_2 +\mu_{3}X_3)$$
    $$ \text{Donde }\vec \mu=(\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3})\quad \land \quad \mathbf {1}=I$$

    Estos generadores forman una base vectorial para la representación matricial del Algebra de Lie SO(3), en este caso el conjunto de todas las matrices antisimétricas de $3 \times 3$ .Incluyendo la matriz identidad $I$.

    $$I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$


    $SO(3)$:Rotación Tridimensional



    Símbolo Levi-Civita 3-dimensional

    En síntesis, se mostrará que aplicar a los generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2, X_3\unicode{125}$ el símbolo de Levi-Civita, implica que:

    $$[X_i\text{ }X_j]=\epsilon _{ijk}X_k\qquad\quad[1]$$

    Por ejemplo:

    $[X_1 X_2]=\epsilon _{123}X_3 \text{, } [X_2 X_3]=\epsilon_{231} X_1 \text{, } [X1,X3]=\epsilon_{132} X2 \dots$, etc. como se detallará más adelante.

    Nótese que en la ingeniosa combinación de la notación Levi-Civita, la permutación de los dos primeros subíndices ${ij..}$ de $\epsilon$ corresponden a los subíndices de la matrices que están dentro de los corchetes $[X_i X_j]$ y el último $k$ a la matriz resultante. (Sin considerar aún que $\epsilon _{ijk}$ puede tomar los valores $-1,0,1$).

    Es decir, $\epsilon _{123}=\epsilon _{231}=\epsilon _{312}=1$ y $\epsilon _{132}=\epsilon _{321}=\epsilon _{213}=-1$

    La notación de Levi-Civita es muy útil para la comprensión del cálculo tensorial y facilita considerablemente a los físicos en sus trabajos con operaciones vectoriales, tanto en el ámbito experimental como teórico. En síntesis, esta notación es una poderosa herramienta para derivar complejos vínculos vectoriales.


    Permutación Par o Cíclica

     

    Permutación Impar o Anticíclica


    Así mismo, se mostrará que las permutaciones $\mathbf {\epsilon _{ijk}}$ cuando son $+1$(par), representan la rotación en el sentido de los punteros del reloj, $-1$ (impar) lo contrario al sentido de los punteros del reloj y $0$ en los otros casos. Dicho de otro modo, hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el número de trasposiciones en que se descompongan.

    Ahora, en $SO(3)$,- i.e. en tres dimensiones-, los elementos generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123}X_1,X_2,X_3\unicode{125}$ y sus relaciones de conmutación constituyen un Algebra de Lie:


    $$X_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

    $$X_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

    $$X_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$


     +   Complemento Anexo
    ¿Cómo se Deduce $\vec P=\unicode{123}X_{1},X_{2},X_{3}\unicode{125}$ en $\mathbf {SO(3)}$?




    Aquí comprobaremos que:

    $$[X1,X2]=X3$$ $$[X1,X3]=-X2$$ $$[X2,X1]=-X3$$

    $$[X2,X3]=X1$$ $$[X3,X1]=X2$$ $$[X3,X2]=-X1$$


    Si se aplica la operación Corchetes de Lie, por ejemplo $[X1,X2]=X_1·X_2-X_2·X_1$ operando con las matrices dadas, se tiene:

    $$X1X2$$ $$-$$ $$X2X1$$ $$=$$ $$X3$$
    $$\downarrow$$   $$\downarrow$$   $$\downarrow$$
    $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
    Ver Cálculo →126


    A fin de simplificar las operaciones de permutación, se recurre a la utilización del símbolo Levi-Civita en tres dimensiones:

    $$ \epsilon _{ijk}=\begin{cases}+1, & \text{si (ijk) es (1,2,3)(2,3,1)(3,1,2)} \\\\ -1, & \text{si (ijk) es (3,2,1)(2,1,3)(1,3,2)} \\\\ \text{ }0, & \text{si (ijk) de otro modo i=j o j=k o k=i} \end{cases} $$


    Matriz Dimensión 3 con Símbolo de Levi-Civita125

    Es decir, en vez de multiplicar explícitamente las matrices generadoras de $3\times 3$, sintetizamos con los indicadores del símbolo de Levi-Civita, donde $\epsilon=1$ si es una permutación par(+1), $\epsilon=-1$ si es una permutación impar(-1) y $\epsilon=0$ en cualquier otro caso. Ilustremos los casos:

    $$[X_1,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{111}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{112}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{113}}X_3=0\\ $$ $$[X_1,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{121}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{122}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{123}}X_3=X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$ $$[X_1,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{131}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{-1}{\epsilon_{132}}X_2=-X_2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{133}}X_3=0\\ $$
    $$[X_2,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{211}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{212}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{213}}X_3=-X_3\Large\color{\green}{\checkmark}\\ $$ $$[X_2,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{221}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{222}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{223}}X_3=0\\ $$ $$[X_2,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {1}}{\epsilon_{231}}X_1=X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{232}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{233}}X_3=0\\ $$
    $$[X_3,X_1]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {0}}{\epsilon_{311}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{1}{\epsilon_{312}}X_2=X2\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{313}}X_3=0\\ $$ $$[X_3,X_2]=\\ \require{cancel}\cancelto{\mathbb {-1}}{\epsilon_{321}}X_1=-X_1\Large\color{\green}{\checkmark}\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{322}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{323}}X_3=0\\ $$ $$[X_3,X_3]=\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{331}}X_1=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{332}}X_2=0\\ \require{cancel}\cancelto{0}{\epsilon_{333}}X_3=0\\ $$
    Nótese que de acuerdo con Levi-Civita en tres dimensiones: $\epsilon _{123},\epsilon_{231},\epsilon _{312}, \epsilon _{132},\epsilon _{312},\epsilon _{213} \text{ son }\ne 0$

    Luego, la matriz asociada a los valores resultantes de las permutaciones del conjunto de generadores infinitesimales $\vec P=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ aplicando el símbolo Levi-Civita $\epsilon_{ijk}$ se señala en la siguente tabla:


    [ , ] $\mathbf {X_1}$ $\mathbf {X_2}$ $\mathbf {X_3}$
    $\mathbf {X_1}$ $0$ $X_3$ $-X_2$
    $\mathbf {X_2}$ $-X_3$ $0$ $X_1$
    $\mathbf {X_3}$ $X_2$ $-X_1$ $0$
    Tabla Resultante de Permutaciones $\vec P=\unicode{123} X_1, X_2, X_3\unicode{125}$ 129



    Las Permutaciones par son 123, 231, 312

    Las Permutaciones impar son 132,312, 213

    Por tanto, de esa forma se puede representar todas la permutaciones tridimensionales del Algebra de Lie, desde $SO(3)$. Una excelente ilustración es el Cubo de Rubik, cuya imagen animada se muestra a continuación, dado que es un ejemplo de un grupo de permutación.

    Los grupos de simetría $SO(n)$ son grupos de permutación, donde cada una de las rotaciones, en este caso con alguna de las caras del Cubo de Rubik-, constituye una permutación. Estas rotaciones forman un conjunto generador del Algebra de Lie 121.



    Cubo de Rubik
    Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación



    Continuación$\longrightarrow$

    Ver artículos complementarios:

    Algebra de Lie - Aplicaciones ~ Formalización


    Pauli - Algebra de Lie - Robótica


    Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

    Ver Video: Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie 






    Canal de Videos


    Notas Complementarias Adjuntas









    Videografía y Bibliografía

  • [B1]
    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/

    Fox_M_Quantum_optics_an_introduction

  • [B5]
    Quantum Computing Explain
    David McMahon on 2007
    WILEY-INTERSCIENCE
    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
    https://www.academia.edu/31537353/_David_McMahon

    _Quantum_Computing_Explained_BookFi_1_

  • [B6]
    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
    Dave Bacon
    Google

  • [B7]
    The Quantum World ~ Quantum Physics for Everyone
    Kenneth W. Ford
    Harvard University Press
    Cambridge Massachusetts
    London England ~ 2004

  • [B8]
    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
    Profesor Titular de Universidad. Senior Member, IEEE.
    Departamento de Computación. Facultad de Informática.
    Universidad de la Coruña
    2O13

  • [B9]
    Quantum Networks for Elementary Arithmetic Operations
    Vlatko Vedral, Adriano Barenco and Artur Ekert
    Clarendon Laboratory, Department of Physics
    University of Oxford, Oxford, OX1 3PU, U.K.
    (Submitted to Phys. Rev. A)
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  • [B10]
    Quantum computing for the determined
    Michael Nielsen on June 10, 2011
    http://michaelnielsen.org/blog/

    quantum-computing-for-the-determined/
    https://www.youtube.com/watch?v=x6gOp_o7Bi8

  • [B11]
    QC — Quantum Algorithm with an example
    Jonathan Hui
    Dec 6, 2018
    https://medium.com/@jonathan_hui/qc-quantum-algorithm-

    with-an-example-cf22c0b1ec31

  •  
  • [B12]
    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos

     relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
    https://en.wikipedia.org

  • [B13]
    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ

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    Quantum Computation (CMU 18-859BB, Fall 2015)
    Lecture 1: Introduction to the Quantum Circuit Model
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    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
    José Enrique González Cornejo
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    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
    José Enrique González Cornejo
    DocIRS Technology
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    https://www.docirs.cl/algoritmo_cambio_base.htm

  • [B17]
    Algoritmo, Generación
    Distribución Aleatoria Discreta de Suma 1
    José Enrique González Cornejo
    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

    https://www.docirs.cl/Algoritmo_Distribucion_Aleatoria.htm

  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
    Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B21]
    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B22]
    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B23]
    Fundamentos Teóricos
     de los Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B24]
    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B25]
    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at

    University of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

  • [B26]
    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing & Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at

    University of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

  • [B29]
    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav,

     Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

  • [B30]
    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
    2013, Vicente Moret Bonillo
    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

  • [B32]
    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php

  • [B37]
    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
     de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015

    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie
     de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

  • [B55]
    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
    1969
    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy









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