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Acerca de la Determinante de una Matriz
Apuntes

José Enrique González Cornejo
v.1.1/agosto 2022





$$ G=\unicode{123}M\in SO(n)/ \bbox[6px,yellow]{det(M)=1} \land M^{T}=M^{-1}\unicode{125} $$




 Condición Necesaria Grupos de Lie $ \mathbf{G}$ en $\mathbf{SO(n)}$

Hemos visto que una condición necesaria de las matrices $M$ que pertenecen a los Grupos de Lie $G$ en $SO(n)$, es que la determinante debe ser diferente de cero. Esto último implica que, existe una matriz inversa para $M$,

$$ det(M)\neq 0 \quad \Rightarrow \quad \exists M^{-1} $$
De otra forma sería cuando $M$ es singular con $det(M)=0$ (o nulo), lo que significa que $M$ no tiene inversa y por tanto ya no sería un grupo.

En otras palabras, diríamos que $det(M)\neq 0$ es una condición necesaria para sea un Grupo de Lie $G \in SO(2)$, pero no suficiente.

Ciertamente, para que $M$ sea un Grupo de Lie de rotación pasiva, no basta sólo con que se cumpla esa condición $det(M)\neq 0$, sino que a su vez, su matriz inversa $M^{-1}$, debe ser igual a la matriz transpuesta de $M$. (segunda condición $M^{T}=M^{-1}$)

Nótese que

$$G=\unicode{123}M\in SO(n) \text{ / } det(M)=1 \land (M^{T}=M^{-1}\Rightarrow M M^{T} = M^{T} M=I) \unicode{125}$$
Es decir, $G$ es el conjunto de todas las matrices $M$ Especiales Ortogonales de Orden $n$, lo que significa que son como un grupo de transformaciones, donde sus determinantes son iguales a uno y su inversa es igual a su transpuesta.


 Grupo $\mathbf {Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})}$

En particular, el siguiente grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^n,\text{·})$ llamado "Special Linear Group"140, i.e. definido sobre $\mathbb R^2$, como grupo de matrices $2 \times 2$ con determinante igual a $1$, bajo las operaciones de multiplicación de matrices, donde se consideran todas las matrices cuya determinante es igual a uno. Es decir, $Sl_2$ es un grupo especial, pero no es siempre ortogonal. Dicho de otra manera, $SO(2)\subset Sl_2$, dado que toda matriz $M\in SO(2)$ por definición tiene determinante $det(M)=1$ y es lineal, por tanto está contenida en $Sl_2$.

Figura #1: $\mathit {SO(2)\subset Sl_2}$


Se recuerda que la ortogonalidad de la matriz implica que su aplicación lineal conserva la norma euclídea en $R^n$.

Efectivamente, una matriz $M$ ortogonal significa que la $det(M)\neq 0$, dado que $I=MM^{T}=M^{2} \Rightarrow det(MM^{T})=det(M)^2\Rightarrow det(M)=\pm 1$, i.e. cuando $M$ es ortogonal, implica que la $det(M)$ puede ser también igual a $-1$. Por lo tanto, las matrices cuya $det(M)=-1$ no pertenece a $Sl_2$.




 Particular Ejemplo $Sl_2(\mathbb R,·)$

Se demostrará que $Sl_2$ definido sobre el cuerpo $\mathbb R$, es un grupo de matrices con determinante $2 \times 2$ bajo la multiplicación de matrices y entradas sobre $R$.

$$ Sl_2=GL(\mathbb R)=\Bigg\{M= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\in \mathbb R^4\Bigg/ ad-bc=1 \Bigg\} $$

 P.D. $\mathbf {Sl_2}$ es un Grupo80

Por demostrar, primeramente que $SL_2$ es un grupo y más adelante se demostrará que tiene un Algebra de Lie asociada. (Ver Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$)

  • i) $Sl_2$ es cerrado, porque dadas dos matrices cualquiera del conjunto, $\forall A,B \in Sl_2$, tenemos que el producto de matrices $A·B \in Sl_2$.

    En efecto, sea $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix}$

    Luego,

    $A·B=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix} $

    $\Rightarrow$

    $A·B=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}\\ \end{pmatrix} $


    Donde $A,B \in Sl_2 \Rightarrow det(A)·det(B)= det(A·B)=1$

    Por lo tanto, $A·B \in Sl_2$.

    __________________________


  • ii) $Sl_2$, está dotado de un elemento neutro $M·I=M·I=M$, donde $I \in Sl_2$, dado que

    $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

    $\Rightarrow$

    $det(I)=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{vmatrix}=1$ 

    __________________________


  • iii) La matrices $\forall A,B,C \in Sl_2$, son trivialmente asociativas: $A·(B·C)= (A·B)C$

    Sean $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}\\ c_{21} & c_{22}\\ \end{pmatrix}$

    Donde cada una de ella tiene determinante igual uno, dado que $A,B,C \in Sl_2$,

    i.e. $det(A)=1$, $det(B)=1$ y $det(C)=1$

    Entonces,

    $\underbrace{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}_{1}·\Big(\underbrace{(b_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})}_{1}·\underbrace{(c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}}_{1})\Big)$=$\Big(\underbrace{(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})}_{1}·\underbrace{(b_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})}_{1}\Big)·\underbrace{(c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}}_{1})$


    $1·(1·1)=(1·1)·1=1 \Rightarrow$ Asociatividad 

    __________________________


  • iv) Existe una matriz inversa, tal que $\forall M \in Sl_2, M·M^{-1} = M^{-1}·M =I$

    $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y\\ z & w\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} $

    $\Rightarrow$

    Aplicando el cálculo de la inversa mediante el método de la matriz adjunta139 de $2\times 2$

    $M^{-1}= \frac{1}{det(M)}· \text{adj}(M)$,

    se tiene que la $det(M)=1$ y la adjunta es

    $\begin{pmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}$,

    cuya determinate $det(adj(M^{-1}))=da-bc=1$, i.e.

    $M^{-1}=\begin{pmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}$, donde $M^{-1}=\begin{vmatrix} d & -b\\-c & a\\\end{vmatrix}=1$

    Por consiguiente, $\exists M^{-1}$ inversa, tal que $\forall M \in Sl_2, M·M^{-1}= M^{-1}·M =I$

    __________________________



Por tanto, $Sl_2$ satisface las propiedades requeridas para constituir un grupo (Especial y Lineal).

QED //

__________________________



Observación

Nótese que el conjunto de transformaciones $Sl_2$ es un grupo lineal especial, pero no es un Grupo de Lie en $SO(2)$ (i.e. todas sus matrices no pertenecen al conjunto 'Special Ortogonal of Order 2' porque no todas son ortogonales).

Por ejemplo,

Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}\in Sl_2$, que tiene por determinante $det(A)=1\neq 0$, su transpuesta es:

$A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\-3 & 1\\\end{pmatrix}$

y su inversa es:

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3\\-3 & 1\\ \end{pmatrix}$


Es decir, $A\in Sl_2$ no es un grupo de Lie en $SO(2)$, dado que $A^{T}\neq A^{-1}$, o dicho de otra manera $AA^{T}=10\neq I$. i.e. no es ortogonal.

Ahora, si consideramos por ejemplo el conjunto de matrices de la forma: $M=\begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\sin(\theta) & cos(\theta)\\\end{pmatrix} $, donde $\theta\in \mathbb R \quad \Rightarrow$,

$M$ si es un Grupo de Lie en $SO(2)$, dado que $det(A)=1 \land A^{T}=A^{-1}$

(Ver caso donde se cumplen estas condiciones Grupo de Lie ~ Enfoque Geométrico)

$ Sl_2=\Bigg\{M= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\Bigg/ ad-bc=1 \Bigg\} $ es un grupo.

Nota.- El grupo $Sl_2$ tiene un Algebra de Lie $\mathfrak g$ asociada. (Ver Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$)



 Asegurar Existencia de la Matriz Inversa

Dicho lo anterior, abordemos el origen de esta condición necesaria $det(M)\neq 0$, que caracteriza los grupos de matrices $n×n$, que operan en $GL(n,R)$ (General Linear Groups), bajo el cuerpo de los números reales y complejos. Condición que nos asegura que estas matrices son invertibles.

La visión y sentido original de la $det(M_{2 \times 2}) \neq 0$ era establecer la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Después de un siglo, fue extendida para $det(M_{n \times n})$ e ir adquiriendo en el tiempo un significado moderno, algorítmico y abstracto.



 ¿Qué es la determinante?

La determinante de una matriz cuadrada $M$, es un escalar que resulta de las operaciones ordinarias entre los elementos que conforman dicha matriz. Es decir, es una notación que reduce un repetitivo patrón del denominador común que surge de la resolución de sistemas lineales de ecuaciones compatibles o determinados.132. En síntesis, a cada matriz cuadrada de orden $n$ le asocia un escalar, que denotamos como $det(M)$

La representación matemática de una determinante, conserva el arreglo numérico bidimensional de su matriz cuadrada. Puesto que tiene la misma disposición de elementos como estructura matemática con filas y columnas, pero donde se cambian los paréntesis de la matriz por barras verticales.

En otros términos, la determinante de una matriz es un invariante algebraico, cuyo concepto fue inicialmente incorporado para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.130

Con el desarrollo y evolución de la matemática desde el siglo XVII, la determinante fue adquiriendo propiedades más elaboradas y siendo definida como estructura algebraica de forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial.

Este último enfoque generaliza el concepto de determinante de una matriz, haciéndolo aplicable en numerosos campos del álgebra lineal y abstracta.


 Ejemplo 1, $\mathbf {M_{2 \times 2}}$

Por ejemplo, sea dado un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y con coeficientes $a_{ij},b_{i} \in R$

$$ \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2\\ \end{matrix} \qquad\quad[1]$$
Cuyos coeficientes forman la matriz de segundo orden $M$:

$$ M_{2 \times 2}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \qquad\quad [2]$$

Aplicando al sistema de ecuaciones $[1]$ el método del Algebra Elemental de igualación de coeficientes, se obtiene:

$$ \begin{matrix} (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) x_1 = b_1 a_{22}- a_{12}b_2 \\ (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) x_2= a_{11} b_2 - b_1 a_{21} \\ \end{matrix}$$

Supongamos que el término $(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})\neq 0$, (sino fuese así el sistema de ecuaciones lineales asociado a dicha matriz $M_{2 \times 2}$ rotulada en $[1]$ no tendría solución o tendría infinitas soluciones coincidentes).

Entonces despejando:

$$ x_1=\frac{ b_1 a_{22}- a_{12}b_2}{\bbox[6px,yellow]{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}} \qquad x_2=\frac{a_{11} b_2 - b_1 a_{21}}{\bbox[6px,yellow]{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}} \qquad\quad[3]$$

Los valores obtenidos de $[3]$ son la solución del sistema $[1]$ (dada la unicidad de la solución).

El común denominador del valor de las incógnitas está simplemente expresado por los elementos de la matriz $[2]$. Es decir, es precisamente igual al producto de los elementos de la diagonal principal de $M$ menos el producto de los elementos de la segunda diagonal.



Para designar la determinante de la matriz $M$ se cambia los paréntesis por barras verticales:

$$ det(M)= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \qquad\quad [4]$$
Luego, la determinante es un número completamente determinado por la matriz cuadrada. En este caso de $2 \times 2$, i.e. de segundo orden:

$$ det(M)= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \qquad\quad[5]$$


 Ejemplo 2, $\mathbf {M_{3 \times 3}}$

Por ejemplo, un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas y con coeficientes $a_{ij},b_{i}\in R$ de la forma:

$$ \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{21} x_2 + a_{31} x_3 = b_1\\ a_{21} x_1 + a_{21} x_2 + a_{23} x_3 = b_2\\ a_{31} x_1 + a_{31} x_2 + a_{33} x_3 = b_3\\ \end{matrix} \qquad\quad[6]$$
Cuyos coeficientes forman la matriz de tercer orden $M$:

$$ M_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$$

Aplicando la solución al sistema de ecuaciones por cualquier de los métodos de igualación de coeficientes del álgebra, se obtiene que el denominador de las tres incógnitas, i.e. lo que llamamos el determinante de la matriz $MM_{3 \times 3}$, es:

$$ det(M_{3 \times 3}) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

Factorizando y arreglando la expresión:

$$ det(M_{3 \times 3})=a_{11}(a_{22}a_{33}- a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{32}) \qquad\quad [7]$$

Que es equivalente a decir:

$$ det(M_{3 \times 3}) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$$

Cuyo cálculo se deduce de $[7]$ y que se mecaniza tradicionalmente mediante diversos métodos de cálculo.


 Aplicando Método de Cálculo de Laplace

Aquí aplicamos el método de cálculo de Laplace136, donde se van tapando la fila y columna correspondiente al coeficiente de la fila superior multiplicado por la determinante de la matriz $2 \times 2$ que queda visible.131

En efecto:

$$ det(M_{3 \times 3})=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} $$

Asumiendo que $det(M_{3 \times 3})\neq 0$ y aplicando la Regla de Cramer, se tiene que las tres incógnitas son:

$$ x_1=\frac{ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{31} \\ a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} } { det(M_{3 \times 3}) } $$
$$ x_2=\frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} \\ a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} } { det(M_{3 \times 3}) } $$
$$ x_3=\frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} } { det(M_{3 \times 3}) } $$


 Solución Matricial de $n \times n$

$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}\end{array}} \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{{x_2}}\\ \vdots \\{{x_n}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\{{b_2}}\\ \vdots \\{{b_m}}\end{array}} \right)\qquad\quad[8] $$

Donde todos los coeficientes e incógnitas son reales, i.e. $a_{ij}, b_{i}, x_{i} \in \mathbb R$

Ahora, resolviendo la ecuación $[8]$ matricialmente, veremos que es una condición casi sine qua non recurrir a la determinante de $M$, i.e. el sistema debe ser compatible determinado:

En la ecuación matricial se tiene los vectores las columnas $X$, $B$ (Si $B=0$, el sistema se dirá que es homogéneo) y los coeficiente $M$, lo cuales se multiplican aplicando la matriz inversa $M^{-1}$.

Entonces, la ecuación matricial es:

$M X = B$, dado que $det(M)\neq 0 \Rightarrow \exists M^{-1}$

$\Rightarrow$

$ M X =B$ (Multiplicamos $M^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros)

$\Rightarrow$

$\underbrace{M^{-1} M}_{I} \text{ } X = M^{-1}B$

$\Rightarrow$

$I X = M^{-1} B$

$\Rightarrow$

$X= M^{-1} B$

Por tanto, se resuelve la ecuación $[8]$ calculando el producto de la matriz inversa $M^{-1}$ por el vector columna $B$.



 Generalización $\mathbf {det(M_{n \times n}})$

En términos generales:

$$det(M_{n \times n})=\sum_{i=1}^n a_{ij}(-1)^{i+j} det(M_{ij})\qquad\quad[9]$$
Donde $M_{ij}$ se obtiene al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz M.

Calcular manualmente determinantes de n-ésimo orden aplicando el mismo modo que se introdujo para los determinantes de segundo y tercer orden, es prácticamente irrealizable

Puesto que en la medida que aumenta el orden de la matriz, los cálculos se hacen más complicados y con $n$ de gran magnitud arbitrario se debe recurrir a la automatización.

En los tiempos actuales se procede con herramientas computacionales, cuyos algoritmos contienen las operaciones del Algebra Lineal y en particular el Algebra de Matrices. Desde luego, el Excel, MatLab, Matrix Reshish y otras aplicaciones disponibles.


 Determinante Desde el Siglo XVII

La arquitectura del algoritmo para el cálculo de una determinante que presento más adelante en esta nota no es nuevo, dado que sus bases ya la trabajaron múltiples matemáticos como el italiano Girolamo Cardano (1545), el japonés Kowa Seki (1683) y en la misma época el alemán Gottfried Leibniz en el siglo XVII. En los siglos posteriores, matemáticos como MacLaurin (1748), Cramer (1750), Bézout, Vandermonde, Laplace (1772), Gauss, Cauchy, Arthur Cayley 137, James Joseph Sylvester, etc.. con el cual determinaron la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Dicho lo anterior, continuemos analizando las resultantes de las determinantes de segundo y tercer orden desarrollados en los Ejemplo $1$ y Ejemplo $2$ para procurar establecer una ley general, de acuerdo a la cual se expresan estas determinantes mediante los elementos de las matrices correspondientes y tomaremos esta ley por definición para el determinante de orden $n \in \mathbb N$.


 Algoritmo de Cálculo $\mathbf {det(M_{n \times n})}$

Se presentará a continuación este procedimiento de cálculo basado en el Teorema de Laplace, el cual permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de dimensiones mayores descomponiendo en la suma de determinantes menores.

Usando este concepto de Laplace, se construyó un simulador en línea y su correspondiente código en javascript.

La aplicación del simulador del cálculo de la determinante se ha restringido a seleccionar matrices hasta de orden $10$ por razones de presentación en pantalla, no así el algoritmo codificado en javascript, el cual admite matrices de magnitud $n>100$ y valores decimales.

En la aplicación-simulador las matrices que se muestran, se llenan con valores enteros aleatorios del intervalo $-100 \lt a_{ij} \lt 100$, en función del orden seleccionado.

Estos valores generados aleatoriamente de la determinante son editables, i.e. el usuario puede escribir otros valores enteros poniento el cursor (focus) sobre los campos o celdas que ocupa cada número. La resultante de la determinante aparece en un marco con fondo amarillo una vez presionando el botón "Calcular Determinante".

Nótese que al presionar el ícono , se llena nuevamente la matriz con valores aleatorios del orden seleccionado.


 Calculador de Determinante  
 
Orden de la Matriz    






Los códigos fuentes del algoritmo señalan que el proceso se realiza en forma recursiva, reduciendo el cálculo a las determinantes de $2 \times 2 $, tal como se explicó en el Ejemplo $2$.



 Código Fuente - Cálculo de una Determinante- Javascript

 

<script>

 

function crea_Mat_nxn(nOrden)

{

                var Mat_nxn = new Array(nOrden);

                for (var i = 0; i < nOrden ; i++){

                  Mat_nxn[i]=new Array(nOrden);

                }

                return Mat_nxn;

            }

           

 

 function determinante(Mat_nxn)

{                               

           if(Mat_nxn.length==2){

var det=(Mat_nxn[0][0]*Mat_nxn[1][1])-(Mat_nxn[1][0]*Mat_nxn[0][1]);

                    return det;

                }              

                var nSuma = 0;

                for(var i = 0; i<Mat_nxn.length; i++){

                    var nm = crea_Mat_nxn(Mat_nxn.length-1);

                    for(var j=0; j<Mat_nxn.length; j++){

                        if(j!=i){

                            for(var k=1; k<Mat_nxn.length; k++){

                                var sIndice=-1;

                                if(j<i)

                                    sIndice=j;

                                else if(j>i)

                                    sIndice=j-1;

                                nm[sIndice][k-1] = Mat_nxn[j][k];

                            }

                        }

                    }

                    if(i%2==0){                           

                        nSuma += Mat_nxn[i][0] * determinante(nm);                            

                    }                           

                    else{                           

                        nSuma -= Mat_nxn[i][0] * determinante(nm);

                    }                        ;

               }

                return nSuma;

            }

</script>





 Grupo $\mathbf {Sl_2 \longrightarrow}$ Algebra de Lie $\mathfrak{\Large g}$

$$ Sl_2=GL(\mathbb R)=\Bigg\{M= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\Bigg/ ad-bc=1 \Bigg\}\qquad\quad[AL1] $$
Esta conformación de grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})$, con matrices cuyas determinantes son igual a uno, es posible asociarle un Algebra de Lie $\mathfrak g$, mediante una aproximación geométrica. Aún más, la determinante de una matriz cuadrada es un polinomio de sus entradas, por lo que es infinitamente diferenciable.142

En efecto, si parametrizamos los elementos en $a(t),b(t),c(t),d(t)$ de la matriz $[AL1]$, i.e. con una función diferenciable $\varphi(t) \in Sl_2(\mathbb R)$:

$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}\qquad\quad[AL2]$$
Asumimos que esta función $\varphi(t)$ del grupo $Sl_2$, determina una curva sobre la variedad en el plano 3-dimensional euclidiano, de modo que tiene un punto neutro igual a la idéntica. (Ver figura #2)135

Luego, al evaluar la derivada $\varphi(t)$ de la función en el punto identidad $I$, se genera un plano tangente a la variedad en ese punto, y consecuentemente un Algebra de Lie asociada. (Ver Definición como Variedad Diferenciable).

Ilustremos su demostración:

Sea $X=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix} $, el conjunto de matrices de $2\times 2$ que genera un álgebra de Lie $\mathfrak g$.

En otros términos, se postula que:

$$X=\varphi'(0)=\begin{pmatrix} a'(0) & b'(0)\\c'(0) & d'(0)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x & y\\z & w\\ \end{pmatrix} $$
$$\Rightarrow x=a'(0), y=b'(0), z=c'(0), z=d'(0)\qquad\quad[AL3]$$


Fig#2: Variedad (Manifold) ~ Espacio Tangente $\large{\mathfrak {g}}$


Se asume que existe una curva $C$, definida por $\varphi(t)$, tal que:

$$\varphi(\mathbb R):\longrightarrow Sl_2(\mathbb R)$$
$\Rightarrow$
$$\varphi(t)=\begin{pmatrix} a(t) & b(t)\\c(t) & d(t)\\ \end{pmatrix}=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1\qquad\quad[AL4] $$
Evaluando en $t=0$ y sabiendo que $\varphi(0)=I$, tenemos:

$$\varphi(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad\Rightarrow \begin{matrix} a(0)=d(0)=1\\b(0)=c(0)=0\\ \end{matrix}\qquad\quad [AL5] $$

Dado que $\varphi(t) \in Sl_2$, tenemos:

$$\varphi(t)=a(t)d(t)-b(t)c(t)=1\qquad\quad[AL6]$$

Luego, derivando implícitamente la función $[AL6]$ con respecto al parámetro $t$, se tiene:

$$\varphi'(t)=a'(t)d(t)+a(t)d'(t)-(b'(t)c(t)+b(t)c'(t))=0$$
(Es igual cero, la derivada de una constante: $\frac{d(1)}{dt}=0$)


Evaluando la derivada $\varphi'(t)$ en $t=0$ y usando $[AL5]$, tenemos:

$$ \underbrace{a'(t)}_{\large{x}} d(t) + a(t)\underbrace{d'(t)}_{\large{w}}-\underbrace{b'(t)}_{\large{y}}c(t)-b(t)\underbrace{c'(t)}_{\large{z}})=0$$

Sustituyendo y Simplificando:

$$\varphi'(0)=\require{cancel} {a'(0)\cancelto{1}{d(0)} + \cancelto{1}{a(0)}d'(t)-b'(t)\cancelto{0}{c(0)}-b(0)\cancelto{0}{c'(0)})=0}$$
$\Rightarrow$
$$\mathbf {a'(0)=-d'(0) \iff x=-w}$$
De donde se conecta una representación de un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de la forma:

$$ \mathfrak {rg}=\Bigg\{\begin{pmatrix} x & y\\ z & w\\ \end{pmatrix}\Bigg/ x=-w \Bigg\} $$

Extendiendo las posibles combinaciones la condición $\mathbf {x=-w} \quad \Rightarrow$

$$ \mathfrak {rg}=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \Bigg\}=\unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125} $$

Aplicamos la operación binaria los Corchetes de Lie, $[XY]=XY-YX$, para probar que cumple las propiedades89 requeridas para constituir un Algebra de Lie.

El conmutador [XY]=XY-YX se considera como una medida, donde la multiplicación matricial no es conmutativa. Nótese además, en la siguiente tabla la propiedad antisimétrica: $[X,Y]=-YX=0,\quad \forall X,Y \in \mathfrak g$.(Ver en artículo Definición Algebra de Lie, Generadores $SO(3)$)

Veremos que:

Tabla con Corchetes de Lie ~ Generadores $Sl_2$
[ , ] $\mathbf {g_1}$ $\mathbf {g_2}$ $\mathbf {g_3}$
$\mathbf {g_1}$ $0$ $g_3$ $-2g_1$
$\mathbf {g_2}$ $-g_3$ $0$ $2g_2$
$\mathbf {g_3}$ $2g_1$ $-2g_2$ $0$


Explícitamente, operando matricialmente:

$$ [g_1 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_1 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_1 g_2]= g_3}}$ 



$$ [g_1 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_1 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_1 g_3]= -2g_1}}$ 



$$ [g_2 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_2 g_3]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\1& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\-1 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 2 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_2 g_3]= 2g_2}}$ 



$$ [g_3 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0& 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_3 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\0& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 2\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_3 g_1]= 2g_1}}$ 



$$ [g_3 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_3 g_2]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\-1& 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$ \mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} 0 & 0\\ -2 & 0\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_3 g_2]= -2g_2}}$ 



$$ [g_2 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1& 0\\ \end{pmatrix} $$
  $$\underbrace{ }_{ }$$   $$\underbrace{ }_{ }$$  
$$[g_2 g_1]=$$ $$\begin{pmatrix} 0 & 0\\0& 1\ \end{pmatrix}$$ $$-$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0\\ \end{pmatrix} =$$ $$\mathbf { \bbox[#FFFFDF]{ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} } } $$


$\Rightarrow\quad \bbox[16px,border:1px solid #c0c0c0]{\mathbf {[g_1 g_1]= -g_3}}$ 



Luego, desde una perspectiva de la geometría euclídea este grupo especial $Sl_2$ se conecta con un Algebra de Lie $\mathfrak g$ mediante una representación que llamamos $\mathfrak{rg}$ del espacio tangente al punto Identidad, utilizando la operación binaria, - previamente definida -, Corchetes de Lie, i.e. se satisfacen las propiedades de ser bilineal, antisimétrica y cumplir con identidad de Jacobi.

El grupo lineal especial $Sl\subset G(n)$, se puede generalizar a un Algebra de Lie $\mathfrak{g}$, formada por todas las matrices de $n\times n$, sobre el cuerpo de los reales o complejos y cuya traza es nula.





 Fin de los Apuntes

Fin de estos apuntes considerados representativos para describir el cálculo y evolución de la determinante de una matriz.

Mostrando especialmente el paso entre el grupo lineal especial $Sl_2(\mathbb R)$ y su correspondiente Algebra de Lie $\mathfrak {g}$.

De ahí hacia atrás toda el álgebra para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de orden $n$.

Basado en la Teoría de la Determinantes de n-ésimo orden, son su álgebra acerca utilizando permutaciones y sustituciones (Ver "Curso de Algebra Superior" de A.G. Kurosh, Editorial Moscu (URSS) 1968).

Asi mismo, de ahí hacia adelante con un mundo mátematico infinito.








 Notas Adjuntas





Videografía y Bibliografía

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    Curso Computación Cuántica
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    José Enrique González Cornejo
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    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación
     Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
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    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
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    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
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    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
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    Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
    12 de julio de 2011
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    José Enrique González Cornejo
    15 de marzo 1997
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    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    21 nov. 2018

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    21 Lessons for the 21st Century
    Talks at Google
    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

  • [B28]
    MIND BLOWN: Quantum Computing &
    Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University

     of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

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    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto

    Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav,

    Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Rev. mex. fís. E vol.64 no.2 México jul./dic. 2018

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    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
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    Universidad de la Coruña-España

  • [B31]
    Informática Cuántica - Parte 1
    Tecnologias Disruptivas
    Alejandro Alomar
    9 jul. 2018
    https://www.youtube.com/watch?v=SisRIgS3oO4

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    Computación Cuántica para Torpes
    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
    https://lapastillaroja.net/2016/09/computacion-cuantica/

  • [B33]
    Intro to Quantum Computing
    Steve Spicklemire
    Lesson 38 Quantum Computing, Deutsch's Problem

  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

  • [B35]
    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/

    disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

  • [B36]
    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
    https://matrix.reshish.com/es/multCalculation.php

  • [B37]
    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

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    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

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    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


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    KET.G
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    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


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    Volumen 3
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    Teoria de Grupos
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    Bibioteca de Matemática Superior
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    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

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    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

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    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
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    29 de julio de 2020

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    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
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    Investigador del Conicet
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    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


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    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
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  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy