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Puertas Cuánticas de Pauli ~ Base de un Algebra de Lie


Capítulo extraído del Documento de Base:
Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica

José Enrique González Cornejo
v.9.1/Abril 2021



 +    Videos Asociados ~ Algebra de Lie


Breve Introducción

La simple rotación de las puertas de Pauli encierra una profunda y extensa parte de la física- matemática que opera en el campo de los números reales y complejos. Su núcleo matemático central es la simetría y la abstracción matricial.

$$ \sigma_1=\sigma_X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_2=\sigma_Y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_3=\sigma_Z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$

Definición y Acción de las Puertas de Pauli

Las tres matrices de Pauli31 $X, Y, Z$ son de gran utilidad en la programación de circuitos cuánticos y debajo de ellas, se encierra un gran desarrollo del Algebra Abstracta y de la Mecánica Cuántica.

Haré un enfoque muy específico de las Matrices de Pauli, orientado a entregar ciertos conceptos matemáticos básicos del Algebra de Lie, la cual sustenta en variados aspectos la programación cuántica. Nótese que las Algebras de Lie89, son más amplias que este enfoque de computación cuántica que tratamos en el presente artículo. Enfoque que sólo hemos reducido a matrices complejas de $2\times 2$. (Ver Aplicaciones ~ Definición Algebra de Lie )


Algebra de Lie ~ Variedades114 Diferenciables

Estas tres matrices de Pauli son una piedra angular en la programación de circuitos cuánticos. Incluyendo la Puerta de Hadamard, - que es un operador fundamental en los algoritmos con superposición cuántica -, y que justamente -, se obtiene de una combinación lineal de las matrices de Pauli:

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sigma_1 + \sigma_3)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\biggr)=\frac {1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

En otros términos: $H =\frac{1}{\sqrt{2}}(X + Z)$. Esto implica que se produce una rotación sobre el eje $y$ de un ángulo $\frac{π}{2}$ e inmediatamente otra rotación de un ángulo $π$ sobre $x$. (Ver Amplitudes Equiprobables Puerta Cuántica de Hadamard)

Situando su operación visualmente sobre la Esfera de Bloch:


$H$ Puerta de Hadamard~Esfera de Bloch



Circuito Cuántico~IBM Composer



  • Puerta Cuántica $X$ análoga a NOT

  • Debemos buscar un operador $X$, tal que:
    i) $|0〉 → |1〉$ y $|1〉 → |0〉$

    ii) Lineal: $α_0 |0〉 + α_1 |1〉 → α_1 |1〉 + α_0|0〉$

    ii) Sea unitario ($|α_0|^{2} + |α_1|^{2} = 1$).

    Es decir, esta puerta Pauli $X$ , opera como una puerta $NOT$, cambia de un estado básico a otro (viceversa). La puerta $NOT$ es equivalente a la puerta $RX$ (del IBM Quantum Composer), para el ángulo $\pi$ radianes de rotación en torno al eje de las $x$.

    El operador es:

    $ \sigma_1=\sigma_X=X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $
    $|\psi〉=\alpha_0|0〉+\alpha_1|1〉=\left[\begin{matrix}\alpha_0\\\alpha_1 \end{matrix}\right]$

    Aplicamos el operador $X$

    $ X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \left[\begin{matrix}\alpha_0\\\alpha_1 \end{matrix}\right]= \begin{pmatrix} 0\alpha_0 & 1\alpha_1 \\ 1\alpha_0 & 0\alpha_1 \\ \end{pmatrix} =\left[\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_0 \end{matrix}\right] $

     Su acción sobre un qubit es:

    $α_0|0〉 + α_1|1〉\longrightarrow$$X$$\longrightarrow α_1|1〉 + α_0|0〉$

    La transformación $X$ se desplaza a lo largo del intervalo en la esfera de Bloch sobre la superficie de la esfera desde $|0〉$ hasta $|1〉$, rotando valores alrededor del eje $x$.


    $X$ ibm quantum experience-fuente gates glossary


  • Puerta Cuántica $Y$
  • El operador es equivalente a una rotación de $\pi$ radianes en torno al eje de la $y$:

    $ \sigma_2=\sigma_Y=Y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} $

    Aplicamos el operador $Y$

    $ Y|0〉= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \left[\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 0\\-i \end{matrix}\right] $

    $ Y|1〉= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \left[\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} -i\\0 \end{matrix}\right] $

     Su acción sobre un qubit es:

    La transformación $Y$ se desplaza a lo largo del intervalo en la esfera de Bloch sobre la superficie de la esfera desde $|0〉$ hasta $|1〉$, rotando valores alrededor del eje $y$.


    $Y$ ibm quantum experience-fuente gates glossary




  • Puerta Cuántica $Z$


  • La puerta $Z$ es equivalente a una rotación de $\pi$ radianes en torno al eje de la $z$ y viene definida por la matriz (unitaria):

    $ \sigma_3=\sigma_Z=Z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $

    Su accion es:

    $|0〉\longrightarrow$$Z$$\longrightarrow |0〉$

    $|1〉\longrightarrow$$Z$$\longrightarrow -|1〉$

    Es decir, la transformación lineal $Z$, cambia de signo la amplitud cuando se aplica al estado del qubit $|1〉$ y lo deja igual cuando se opera con el estado del qubit $|0〉$.


    $∴\quad$Su acción sobre un qubit es:

    La transformación $Z$ se desplaza a lo largo del intervalo en la esfera de Bloch sobre la superficie de la esfera desde $|0〉$ hasta $|1〉$, rotando valores alrededor del eje $z$.


    $Z$ ibm quantum experience-fuente gates glossary



    Equiparse con Más Matemática

    Para aquellos que se están equipando con más matemática, se hace necesario mencionar el Algebra de Lie81 y tratar las propiedades de grupo. Cualidades que son un tremendo sustento matemático detrás de esas tres puertas cuánticas utilizadas permanentemente en la programación de circuitos. En efecto, veremos que las matrices de Pauli junto a la matriz Identidad, constituyen una base vectorial del Algebra de Lie del grupo especial unitario de simetría $SU(2)$87 (dimensión 2)

    Se hace hincapié que las transformaciones de Pauli sí conforman un Algrebra de Lie, dado que cumple con las propiedades requeridas bajo las operaciones binarias estándar. Sin embargo, las Matrices de Pauli no cumplen las propiedades suficientes para constituir un Grupo. (Por tanto tampoco un Grupo de Lie86).

    En general, los programadores en sus algoritmos de computación cuántica utilizan las Puertas de Pauli frecuentemente, - poniendo y sacando objetos sobre los cables del circuito, ejecutando y probando su algoritmo -, pero sólo conociendo la acción de dichas transformaciones en forma operativa.




    Vista del Editor Circuit Composer de IBM

    Pauli ~ ¿Base Espacio Vectorial?

    Ciertamente, las transformaciones cuánticas de Pauli conforman una base para el espacio vectorial complejo de todas las matrices de $2\times2$ de Grupo Especial Unitario de Dimensión 2 $SU(2)$, dado que:

  • i) Son linealmente independientes. (La prueba muestra que no es posible expresar cualquiera de una de las Puertas como combinación lineal de las otras dos). Equivalentemente, se verifica que existen $4$ números complejos $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in C$ tal que:

    $$\alpha_0 I + \alpha_1 \sigma_1 + \alpha_2 \sigma_2 + \alpha_3 \sigma_3 = 0 ⇔ \alpha_i=0 \quad \forall i=0,1,2,3$$

    $$M = \begin{pmatrix} m_{11}& m_{12} \\ m_{21}& m_{22} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 0 \\ \end{pmatrix}\Rightarrow\alpha _0 I+\alpha_1 \sigma_1 + \alpha_2 \sigma_2 + \alpha_3 \sigma_3=0\qquad\text{(matriz 0)}$$
    $$\Rightarrow \alpha_i =0, \text{ para } i=0,1,2,3\quad $$
    Es decir:(Ver $[4.2]$),
    $$\begin{pmatrix} \alpha_0 + \alpha_3 & \alpha_1-i\alpha_2 \\ \alpha_1+i\alpha_2 & \alpha_0-\alpha_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
    Por lo tanto, $\forall \alpha_i =0$ cuando $M$ es la matriz $0$


  • ii) Toda matriz compleja $2×2$ puede ser expresada como una combinación de las matrices del conjunto $\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ con $i=1,2,3$ (Ver Combinación Lineal de Matrices de Pauli).

  • Las Matrices de Pauli Conforman una Base del Algebra de Lie (de $SU(2)$)

    Luego, como las matrices de Pauli sí conforman una Base del Algebra de Lie, lo que implica que toda matriz $M$ unitaria de $2 \times 2$ de representación $SU(2)$ se puede expresar como una combinación lineal de las matrices de Pauli. En otras palabras, existen coeficientes $\alpha_i,\text{ con }i=0,1,2,3$ en los complejos que permiten esa combinación líneal:

    $$M = \begin{pmatrix} m_{11}& m_{12} \\ m_{21}& m_{22} \\ \end{pmatrix}=\alpha _0 I+\alpha_1 \sigma_1 + \alpha_2 \sigma_2 + \alpha_3 \sigma_3\qquad\qquad[4.1]$$

    $$\text{Donde } \alpha_i \in C, \text{ con } i=0,1,2,3\quad (\sigma_0=I)$$
    $\Rightarrow$
    $$\begin{pmatrix} m_{11}& m_{12} \\ m_{21}& m_{22} \\ \end{pmatrix}=\alpha _0 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + \alpha_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$
    $\Rightarrow$ $$ \begin{matrix} m_{11}=\alpha_0+\alpha_3 \\ m_{12}=\alpha_1-i\alpha_2 \\ m_{21}=\alpha_1+i\alpha_2 \\ m_{22}=\alpha_0-\alpha_3 \end{matrix} \qquad\quad[4.2] $$
    Por lo tanto, $$\forall M\in SU(2)\quad\exists \alpha_i\in C \text{ / } M=\sum_{i=0}^3 \alpha_i \sigma_i$$
    Despejando los $\alpha_i$ en función de los $m_{ij}
    \Rightarrow$

    $$ \begin{matrix} \alpha_0=\frac{1}{2}(m_{11}+m_{22})\\ \alpha_1=\frac{1}{2}(m_{12}+m_{21})\\ \alpha_2=\frac{1}{2}i(m_{12}-m_{21})\\ \alpha_3=\frac{1}{2}(m_{11}-m_{22})\\ \end{matrix} \qquad\qquad[4.3] $$

    También la matriz $M$ se puede escribir como $M = A+\mathbf {\mathit{i}} B$, donde tanto $A$ como $B$ son matrices hermitianas ($M=(M^{T})^{*}$ Ver Propiedades). Entonces, existen números reales únicos $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3$, donde:


    $$A=\alpha_0 I + \sum_i \alpha_i \sigma_i\\\text{y}\\$$ $$B=\beta_0 I+\sum_i {\beta_i\sigma_i}\\\text{por lo tanto}\\$$, $$M=(\alpha_0+\mathbf {i}\beta_0)I+\sum_i(\alpha_i+ \mathbf {i}\beta_i)\sigma_i$$
    Es decir, las matrices de Pauli junto con la matriz identica $I$ expanden el espacio vectorial complejo de las matrices complejas de $2 \times 2$ constituyendo una base. Donde la dimensión (compleja) de este espacio vectorial es $4$.



    Ejemplo Algebra de Lie con Matrices $2\times 2$ con Pauli:

    Experimentemos con el siguiente ejercicio en $SU(2)$, con un simulador que genera matrices de $2\times 2$,- sólo presionando el botón "Random"- , cuyos elementos son valores enteros aleatorios entre -100 y 100, para los coeficientes $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ (Ver $[4.2]$). Cualquier matriz de $2\times 2$ generada, se escribirá en función de las matrices de Pauli y la matriz identidad.


    Simulador Matrices $2\times 2$



    Delta de Kronecker

    Efectivamente, estas tres transformaciones se pueden compactar en una sola matriz, aplicando un parámetro de control llamado Delta de Kronecker y denotado con el símbolo griego $\delta_{ij}$.

    Este parámetro Delta de Kronecker, es necesario mencionarlo y mostrarlo, porque jugará un rol importante en determinados circuitos que irán apareciendo en el avance de la programación cuántica.

    De la expresión $[4.2]$, se deduce este parámetro $\delta_{ij}$ que se construye en función de dos variables, que pueden tomar valores $1$ o $0$.

    A continuación se mostrará que según el valor que adquiera $\delta_{ij}$, se puede obtener cualquiera de las tres matrices o utilizar algebraicamente esta reducción, a fin de sintetizar el uso de los atributos de rotación y simetría que se generan con estas transformaciones.

    En efecto, $\delta_{ij}$ es una función de control, dado que es $1$ si las variables son iguales y $0$ en caso contrario.

    $$ \delta_{ij} = \begin{cases} 0, & \text{if i≠ j} \\ 1, & \text{if i=j} \end{cases} $$

    De modo que la representación de cada matriz de Pauli $\sigma_i$ se puede expresar en función del Delta de Kronecker con la siguiente matriz compacta:


    $$ \sigma_i= \begin{pmatrix} \delta_{i3} & \delta_{i1}-i·\delta_{i2} \\ \delta_{i1}+i·\delta_{i2}&-\delta_{i3} \\ \end{pmatrix} $$
    Donde $i=1,2,3 \quad\text{ i.e. }\quad\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ son igual que $\sigma_X,\sigma_Y\sigma_Z$ respectivamente. (Así mismo $i=\sqrt{-1}$).




    Características de las Matrices de Pauli

    Las matrices de Pauli corresponden a las características de matrices de rotación que conforman una base del Algebra de Lie, del grupo especial SU(2). En este caso, corresponden al conjunto de las matrices unitarias de $2 \times 2$ definidas sobre los complejos con las operaciones binarias ordinarias. Nótese que las tres matrices de Pauli no constituyen en sí un Grupo, pero se puede extender el conjunto de las matrices de Pauli para construir un Grupo de 8 matrices.

    La Matrices de Pauli No Constituyen un Grupo

    El conjunto de matrices de Pauli unido a la matriz Identidad, $P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$, no constituye un grupo porque al multiplicar elementos del conjunto se obtienen elementos que no forman parte del conjunto $P$.

    Es decir, $P$ no es un conjunto cerrado para la operación de multiplicación matricial, dado que $\exists x,y\in P \text{ / }x·y\notin P$. Por tanto, $P$ no es un grupo.80

    $$ \begin{matrix} \sigma_1\sigma_2=i\sigma_3 &\quad \sigma_2\sigma_1=-i\sigma_3\\ \sigma_2\sigma_3=i\sigma_1 &\quad \sigma_3\sigma_2=-i\sigma_1\\ \sigma_3\sigma_1=i\sigma_2 &\quad \sigma_1\sigma_3=-i\sigma_2\\ \end{matrix} $$
    De donde se puede deducir cuales son los elementos faltantes para configurar un conjunto cerrado, que permita constituir un Grupo79.

    G={I,-I, σ1, 1, iσ2, -iσ2, σ3, 3}


    Extensión Matrices de Pauli Conformación de Grupo

    A continuación construimos la tabla de operaciones del grupo extendido $G$, dónde se puede observar que es cerrado, que cada tiene identidad y que cada elemento dentro de la tabla tiene su inverso.

    Aún más, con el grupo extendido $G$ es posible obtener todas las rotaciones de $\pi$ en torno a los ejes de coordenadas sobre el plano cartesiano. Claramente, $G$ no es Abeliano. (Por ejemplo, $\sigma_1\sigma_3\neq\sigma_3\sigma_1$).

    Nótese que las matrices que conforman el grupo extendido $G$ están compuestas sólo por elementos reales $\unicode{123}-1,0,1\unicode{125}$, dado que hemos sacado como factor el número imaginario $i\in C$ de las matrices $\pm\sigma_2$.


    Tabla de Operaciones del Grupo G
    $\mathbf\times$ $I$ $-I$ $\sigma_1$ $-\sigma_1$ $i\sigma_2$ $-i\sigma_2$ $\sigma_3$ $-\sigma_3$
    $I$ $I$ $-I$ $\sigma_1$ $-\sigma_1$ $i\sigma_2$ $-i\sigma_2$ $\sigma_3$ $-\sigma_3$
    $-I$ $-I$ $I$ $-\sigma_1$ $\sigma_1$ $-i\sigma_2$ $i\sigma_2$ $-\sigma_3$ $\sigma_3$
    $\sigma_1$ $\sigma_1$ $-\sigma_1$ $I$ $-I$ $i\sigma_3$ $-i\sigma3$ $-i\sigma2$ $i\sigma2$
    $-\sigma_1$ $-\sigma_1$ $\sigma_1$ $-I$ $I$ $-i\sigma3$ $i\sigma3$ $i\sigma2$ $-i\sigma2$
    $i\sigma_2$ $i\sigma_2$ $-i\sigma_2$ $-i\sigma_3$ $i\sigma_3$ $I$ $-I$ $i\sigma_1$ $-i\sigma_1$
    $-i\sigma_2$ $-i\sigma_2$ $i\sigma_2$ $\sigma_3$ $-\sigma_3$ $-I$ $I$ $-\sigma_1$ $\sigma_1$
    $\sigma_3$ $\sigma_3$ $-\sigma_3$ $i\sigma_2$ $-i\sigma_2$ $-i\sigma_1$ $i\sigma_1$ $I$ $-I$
    $-\sigma_3$ $-\sigma_3$ $\sigma_3$ $-i\sigma_2$ $i\sigma_2$ $-i\sigma_1$ $i\sigma_1$ $-I$ $I$

    Síntesis: Propiedades Puertas de Pauli y el Algebra de Lie

    En síntesis, las tres transformaciones de Pauli $\unicode{123}\sigma_X,\sigma_Y,\sigma_Z\unicode{125}$, - son puertas cuánticas involutivas ($I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I$) y además Hermíticas o Hermitianas, i.e. $M=(M^{T})^{*}\Rightarrow M$ es igual a su transpuesta conjugada y se representan en rotaciones $\pi$ radianes en torno al eje de su propio nombre sobre la esfera de Bloch, i.e. en el espacio euclidiano tridimensional $R^{3}$88.

    Las tres son representaciones matriciales de su operador unitario, que cumplen con la condición de que la determinante de su matriz es diferente de $0$ (toma el valor $\pm 1$), su traza $Tr(\sigma_i)=0$, que su matriz inversa es igual a ella misma y que su transpuesta también es la misma matriz.

    Esta propiedad involutiva se expresa como:

    $$ \sigma_X^{2}=\sigma_Y^{2}=\sigma_Z^{2}=I $$
    $$\sigma_X=\sigma_X^{-1}=\sigma_X^{T}\quad \text{, } \sigma_Y=\sigma_Y^{-1}=\sigma_Y^{T}\quad \text{, }\sigma_Z=\sigma_Z^{-1}=\sigma_Z^{T}$$.
    $$ Det(\sigma_X)= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=-1,\quad $$ $$ Det(\sigma_Y)= \begin{vmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{vmatrix}=-1,\quad $$ $$ Det(\sigma_Z)= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{vmatrix}=-1 $$

    Matemáticamente, esto significa que las Matrices de Pauli, corresponden a las características de matrices de rotación que conforman una base para el Algebra de Lie, del grupo SU(2). En este caso al conjuntos de las matrices unitarias de $2 \times 2$ definidas sobre los complejos con las operaciones binarias ordinarias. Adicionalmente, $G=\unicode{123}I,-I,\sigma_1,-\sigma_1,i\sigma_2,-i\sigma_2,\sigma_3,-\sigma_3\unicode{125}$, es un grupo unitario y Hermítico 79 definido sobre un espacio de Hilbert.

    La matriz identidad $I$ es como la matriz neutra o $0$ de Pauli, también se le denota como $\sigma_0$ (Ver Tabla de Operaciones de G).

    Nótese que $G$ es un grupo ortogonal unitario no abeliano, dado matrices de Pauli no son conmutativas. Por ejemplo, $\sigma_1 \sigma_3\neq \sigma_3 \sigma_1$. En efecto:

    $$ \sigma_1 \sigma_3= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$
    $$ \sigma_3 \sigma_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$
    $\Rightarrow$
    $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

    En efecto, sea $G$ un grupo definido en los complejos (con las operaciones de adición ordinaria de vectores y multiplicación de matrices), tal que es el conjunto de todas las matrices $M$ de $2\times2$ cuya determinante $Det(M)\pm-1$ y la inversa de $M^{-1}=M^{T}$, i.e. la inversa de $M$ es igual a su matriz transpuesta. (Una matriz ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transposición).

    En otros simples términos, $G=\unicode{123}M\in SU(2)\text{/ Det}(M)\pm 1 \land M^{-1}=M^{T}\unicode{125}$, i.e. $M^{T}M^{-1}=I$ (extendido a 8 matrices, i.e. el conjunto $G=\unicode{123}I,-I,\sigma_1,-\sigma_1,i\sigma_2,-i\sigma_2,\sigma_3,-\sigma_3\unicode{125}$, es un Grupo de orden $|G|=8$, cuya magnitud física invariante (con respecto a la dirección del eje de rotación) de la transformación es igual a uno.


    Conclusión y Transformación Isomorfa $T: P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125} \longrightarrow R^{8}$

    Finalmente, podemos afirmar que a partir de los tres operadores matriciales de Pauli {$\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$}, se configura el grupo extendido $G$, - (que multiplicado por el factor imaginario $i$), se genera un Algebra de Lie $SU(2)$. Dado que dichas matrices forman una base para $SU(2)$ sobre $R$:

    $$i\sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \qquad i\sigma_y \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\qquad i\sigma_z \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \\ \end{pmatrix} $$

    Desde el punto de vista computacional la incorporación del factor unidad imaginaria $i$, multiplicando los tres operadores de Pauli, se hace más conveniente llevarlo de los Complejos a los Reales, a fin de que los programadores asimilen el concepto de las Algebras de Lie con un nivel de menos abstracción.

    Este enfoque de representaciones propio de la Mecánica Cuántica es más próximo a la utilización de la programación de circuitos cuánticos, porque es experimental, no así el enfoque matemático acerca del Algebra de Lie, - que ciertamente-, va poderosamente aun más lejos, pero dentro del algebra abstracta.

    De hecho, el espacio vectorial complejo de matrices $2\times 2$, denotado como $M_{2\times 2}(C)$, es isomórfico a $R^{8}$. Es decir, existe un operador $T$ que toma $P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ con $i=1,2,3$ y lo lleva a un espacio vectorial real de dimensión 8 (Ver $[B51]$).



    Esta propiedad de isomorfismo implica que $T: P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125} \longrightarrow R^{8}$ es biyectiva y lineal, lo que permite transformar bases de un espacio al otro (vice versa)92.

    Es decir, $P=\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ es una base de $M_{2\times 2}(C)$,-(espacio vectorial complejo)-, mapeada por la transformación isomorfa $T$ hacia el espacio vectorial real que se ilustra en la siguiente tabla-matriz:

    $$I$$ $$\sigma_1$$ $$\sigma_2$$ $$\sigma_3$$ $$iI$$ $$i\sigma_1$$ $$i\sigma_2$$ $$i\sigma_3$$
    $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$ $$\downarrow$$
    1 0 0 1 0 0 0 0
    0 0 0 0 1 0 0 1
    0 1 0 0 0 0 1 0
    0 0 -1 0 0 1 0 0
    0 1 0 0 0 0 -1 0
    0 0 1 0 0 1 0 0
    1 0 0 -1 0 0 0 0
    0 0 0 0 1 0 0 -1

    En síntesis, la tabla muestra que existe un isomorfismo entre la matriz idéntica junto a las matrices Pauli(i.e $\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ ), - desde $M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ - , con una base de un espacio vectorial en $R^{8}$ . Esto reafirma que $\unicode{123}I,\sigma_i\unicode{125}$ es una base vectorial en los complejos, dado que es isomorfa con esa base del espacio vectorial real. Los isomorfismos entre bases son vice-versa en términos de propiedades algrebraicas.






    Ejemplo Introductorio $\mathbf {z} \in C$ ~ Grupo de Lie

  • Normalización(Ver Complejos Normalizados en Coordenadas Polares)
  • Se extraen algunos párrafos del documento central Complejos Normalizados en Coordenadas Polares" concernientes a la Normalización de un número complejo, a fin de desarrollar un ejemplo del Grupo de Lie102 en $S(1)$ de rotación pasiva generado por un determinado vector normalizado $ z\in C$ en torno al origen $0$.

    La idea es mostrar simplemente que el vector $\vec {z_{\theta}}$ cuya norma $|z|=1$, es un operador que al multiplicarlo vectorialmente a otro vector cualquiera en ese plano, lo va a rotar pasivamente en un ángulo $\theta$99.

    Cada rotación finita puede descomponerse en un número infinito de rotaciones infinitesimales, ya que el ángulo de rotación puede variar continuamente como $(\alpha + d(\theta)) \quad \text{, donde } d(\theta)\longrightarrow 0$ (Ver Aproximación Fundamental).

    $$n \longrightarrow \infty \Rightarrow \frac{\theta}{n} \longrightarrow 0$$
    $$\lim\limits_{n\to\infty}\require{cancel}\cancelto{0}{(\frac{\theta}{n})}$$

    Desde un punto físico, esto significa como experimentar la rotación de un sólido rígido que resulta del movimiento de uno de sus puntos, manteniendo su posición invariante.



    Rotación Pasiva en el Plano $C$

    Dicho matemáticamente, se operará bajo el concepto de espacio de Hilbert o espacio euclídeo, con vectores y matrices unitarias, permite ilustrar gráficamente, - normalizar sobre el círculo unitario (conexo) -, un vector $z \in C$, también denotado como $\mathbf {z_{\theta}}$ que caracteriza derechamente una transformación de rotación pasiva o Grupo de Lie109.

    Por tanto, se comenzará en los complejos con $S(1)\subseteq C^{*}$ (Grupo Discreto), con la restricción $|z|=1$, donde $\unicode{123}x \in R \text{| } x \longrightarrow e^{2\pi i x}\unicode{125}$. Es decir, con el conjunto de unidades complejas que es un Grupo Especial Unitario de Lie (Dim $G =1$) de dimensión uno o grado de libertad del sistema igual $1$, para posteriormente escalar ejemplos en $SO(2), SO(3),\dots $110


    Función javascript - Normalización

    A continuación, el código de una función en javascript para la normalización de un número complejo $z$, ingresado en forma separada su parte real e imaginaria.

    <script language="javascript"  type="text/javascript" >

      function Normaliza_Complejo(z_real,z_imag)
    {
       z_real=Number(z_real);
       z_imag=Number(z_imag);

       /* Se valida previamente que z_real y z_img sea números reales */
     
      var modulo=Math.pow(z_real,2) + Math.pow(z_imag,2);
      modulo=Math.abs(modulo);
      var raiz_modulo=Math.pow(modulo,0.5);
      if (raiz_modulo!=0)
      {
       var u_real=z_real/raiz_modulo;
       var u_imag=z_imag/raiz_modulo;
        if (z_imag >=0)
         {
          var signo_imag=" + i ";
         }
    else
         {
         var signo_imag=" - i ";
        }
      }
       alert(u_real + signo_imag + Math.abs(u_imag));
    }
     
    ///// EJEMPLOS
    Normaliza_Complejo(33,-15);
    Normaliza_Complejo(-7,13);
    Normaliza_Complejo(-3,-8);

     </script>

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    Parte Real Parte Imaginaria
    + i    
      

    Ejemplo Pasos Normalización: $\mathbf {z \longrightarrow e^{i\theta}}$

    Un número complejo, $z \in C$, tal que $z = x + iy$  también se representa en coordenadas polares como $z = r (cosΘ + i·senΘ)$. Para ese efecto, se establece un plano cartesiano donde el eje de la ordenadas $Y$ se utiliza para el coeficiente del imaginario $\mathit {i}$ y el eje de las abcisas $X$ para el valor de la parte real.

    Es decir, inicialmente todo $z \in C$ puede expresarse cartesiana y gráficamente como un par ordenado $(x,y)$ sobre el plano y el vector que va desde el origen hasta esas coordenadas lo llamaremos $\overrightarrow r$.




    Representación Gráfica de $z = 3 - i·4$
    Sea $z = 3 - i·4$

    $|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = 3^{2} + (-4)^{2} = 25$

    $|z|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}$

    $|z| = \sqrt{25} = 5$

    $u =\frac{3}{5} - i\frac{4}{5} \Rightarrow |u|^{2}=1$

    $tan(\Theta)=\frac {x}{y}$ , donde   $x = r·cos(Θ) , y = r·sin(Θ)$

    $Θ=tan^{-1}(\frac{x}{y})=tan^{-1}(\frac{-3}{4})=-0.643501109 $

    $∴\quadΘ = -0.643501109$

    $\Rightarrow Θ=2π- 0.643501109 = 5.63$

    $\Rightarrow\quad u = cos(5.63)+ i·sin(5.63)$

    $\Rightarrow\quad u = e^{iΘ} = e^{i(5.63)}$


    Normalizar un número complejo $\mathbf z$ en su forma polar o bajo la fórmula de Euler18, donde se trató $\vec { \mathbf u}$ como la normalización de cualquier vector $\vec {\mathbf z} \in C$, de la forma $\mathbf {z= x + iy} \text{ con } \mathbf {x,y} \in R \text{, }\quad \mathbf {i}=\sqrt{-1}$.

    Es decir, $\mathbf {\vec u} = e^{iΘ}=cosΘ + i·senΘ$, nos aseguramos que $|u|^{2}=cos^{2}Θ + sen^{2}Θ=1$.


    $S(1)$: Grupo de Lie $\iff \vec {\mathbf{ z}} \text{, donde } |z|=1$

    En otras palabras, cualquier elemento $\vec {\mathbf{ z}} \in C$ normalizado, i.e. cuyo modulo $\mathbf{|z|}=1$, representa un operador para aplicar una rotación pasiva en torno al origen $0$ en el plano. Este operador, cumple la caracterización de Grupo de Lie sobre el cuerpo de los Complejos109.


    Operador $\mathbf {z_{\theta}}$ ~ Grupo de Lie

    Sea $\mathbf {z_{\theta}}$ el operador lineal que utilizaremos en el ejemplo, el cual lo aplicamos a un vector cualquiera definido en el plano complejo $\mathbf {C}$ de la figura, de la forma $\mathbf {v}=\overline {OQ}$ de ángulo $\alpha$. Es decir, al multiplicarlo vectorialmente por $\mathbf z$, será rotado en un ángulo $\theta$, obteniendo un vector resultante $\mathbf w$ cuyo ángulo con repecto al eje de la $X$, será de $\theta + \alpha$:

    $$ \mathbf {w = z· v} \text{, donde } \mathbf{|w|=|zv|=|v|} \text{, dado que } \mathbf{|z|}=1$$

    Sea $v= \mathbf{e}^{i\alpha}\Rightarrow z· w = {e}^{i(\theta + \alpha)}$



    Notas Atingentes al Grupo de Lie en $C$


    $1$. Producto Interno ~ Espacio Vectorial Complejo

    Recordar que el producto interno en un espacio vectorial complejo, se define de manera diferente al producto interno en los Reales. En efecto,

    Sea $V$ un espacio vectorial complejo. Una función $ \mathfrak g: V × V \longrightarrow V \in C$ se denomina producto interno en $V$, si cumple con las siguientes propiedades:

    $ii)\quad \mathfrak g$ es lineal con respecto al segundo argumento:

    $$\mathfrak g(u, v + w) = \mathfrak g(u, v) + \mathfrak g(u, w) \qquad \forall u, v, w \in V $$

    $$\mathfrak g(u, \lambda v) = \lambda \mathfrak g(u, v)\qquad \forall u, v \in V \qquad \forall \lambda v \in C$$

    $ ii)\quad \mathfrak g$ es hermítica($g^{†}=(g^{T})^{*})$:

    $$\mathfrak g(u, v) = \overline{\mathfrak g(v, u)} \qquad \forall u,v \in V$$

    $iii)\quad \mathfrak g$ es definida positiva:

    $$\mathfrak g(v, v) \gt 0 \qquad \forall v \in V \text{ \ }\unicode{123}0 \unicode{125}$$.

    $2$. $(C^{*},·)$: El Grupo Multiplicativo de los Complejos Diferente de Cero

    Dado que se hace mención al grupos discretos $C^{*}$, a continuación se establecen y descripción del grupo multiplicativo de los números complejos diferente de cero.

    Aparte de la definición de grupo80, equivalentemente se pueden postular con los siguientes puntos para constituir un grupo:

  • i) Se define un conjunto $S \ne \phi$

  • ii) Se define una operación binaria $·$ en $S$

  • iii) Se verifica que $(S,·)$ tiene un elemento neutro

  • iv) Se verifica que $(S,·)$ es un semigrupo, i.e. que es asociativo

  • v) Se verifica que todo elemento de $S$ tiene un inverso.



  • A continuación, se verifica con cada uno de estos puntos previamente especificados que $C^*$, es un grupo multiplicativo de los números complejos diferente de cero.

    • i) Sea $C^*$ el conjunto de los números complejos diferente de cero:

      $$C^{*}=\unicode{123} z \in C \text{ | } z = a + ib \text{, donde } z \ne (0 + i·0)\quad \land \quad a,b \in R \unicode{125}\qquad \color{red}{✓}$$
      Recuérdese que $i^2=-1$


    • ii) Se reitera la definición de la multiplicación de números complejos, los cuales es posible multiplicarlos como si fueran polinomios. Donde $(a,b,c,d,e,f \in R \quad \land \quad i=\sqrt{-1})\qquad \color{red}{✓}$

      $$(a + i· b)(c +i· d)=ac + i^2 · bd + i· ad + i· bc (ac-bd) + i·(ad+c) \qquad \color{red}{✓}$$
      Esta operación binaria se da en $C^{*}$, porque su resultante $(ac-bd)+i(ad+c)$ es un elemento único en $C^{*}$. Es decir, no pueden ser simultáneamente iguales a cero.


    • iii) $1 + i·0 = 1 \in C^{*}$ y es evidente que $1$ es el neutro multiplicativo de $(C^{*},·)\qquad \color{red}{✓}$


    • iv) Consideremos tres números $(a + i·b),(c + i·d),(e + i·f) \in C^{*}$. Entonces:


      $$(a + i·b)(c + i·d)(e+ i·f)=[(ac - bd)+i·(bc + ad)](e + i·f)$$
       
      $$=[(ac-bd)e-(bc+ad)f)] + i·[bc+ad)e+(ac-bd)f] \qquad \color{red}{✓}$$
      Por otra parte,


      $$(a + i·b)[(c + i·d)(e + i·f)]=(a + i·b)[(ce-df) + i·(de + cf)]$$

      $$=a(cd-ef)-b(de+cf) + i·[b(ce-df) + a(dc+cf)]$$

      Luego, esta igualdad implica:


      $$(a + i·b)[(c + i·d)(e + i·f)]=[(a + i·b)(c + i·d)]+(e + i·f)\qquad \color{red}{✓}$$


    • v) Ahora, se comprobará la existencia de los inversos. Considérese $z = (a + i· b) \in C^{*}$.

      Entonces $a \ne 0 \text{ y } b \ne 0 $, i.e. $a \text{ y } b$ no son simultáneamente cero. Esto implica que $(a^{2}+b^{2})\ne 0$ y por tanto:

      $$\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} + i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})} \in C^{*}\qquad \color{red}{✓}$$
      Más aún:

      $$\Bigl(\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} - i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})}\Bigr)(a + i·b)=1=(a + i·b)\Bigl(\frac{a}{(a^{2}+b^{2})} - i\frac{b}{(a^{2}+b^{2})}\Bigr) \qquad \color{red}{✓}$$
      En otras palabras, todo número complejo $z=a + i·b$ no nulo tiene un inverso multiplicativo. Es decir, existe $z^{-1}$ tal que $z^{-1}z=zz^{-1}=1$

      $$ \begin{equation*} z^{-1} = \frac{a-i·b}{ a^2 + b^2 }. \end{equation*} $$
      En la normalización de un número complejo $z=a + i·b$, se demostró que al multiplicar por su conjugado, definido como $\overline {z}=(a - i·b)$ , resulta $|z|^2=z·\overline {z} = a^2+b^2 \Rightarrow |z|=1$.


    • De esta forma se ha demostrado que $C^{*}$ es un grupo, el cual es denominado Grupo Multiplicativo de los Números Complejos Diferente de Cero.


    Continuación$\longrightarrow$

    Ver artículo complementario Grupo de Lie - Enfoques Geométrico y Exponencial 

    Ver Video: Grupo de Lie ~ Complementario a Matrices de Pauli y Algebra de Lie 





    Notas Complementarias Adjuntas

    Cubo de Rubik
    Ejemplo de Grupo Simétrico de Permutación












    Videografía y Bibliografía

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    Quantum Computation 5: A Quantum Algorithm
    David Deutsch, Autor del Algoritmo
    Centre for Quatum Computation
    https://www.youtube.com/watch?v=3I3OBFlJmnE

  • [B2]
    Curso Computación Cuántica
    Eduardo Sáenz de Cabezón
    26 abril 2019
    Instituto de Matemáticas de la UNAM, México
    https://www.youtube.com/watch?v=KKwjeJzKezw

  • [B3]
    Quantum Optics
    Miguel Orszag,
    Pontificia Universidad Católica - Santiago de Chile
    Editorial Springer ~ 2016


  • [B4]
    Quantum Optics - Mark Fox - Oxford University Press
    22 jun. 2006 - Oxford Master Series in Physics.
    Capítulo 13
    https://www.academia.edu/24696066/Fox_M_Quantum_optics_an_introduction

  • [B5]
    Quantum Computing Explain
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    A John Wiley & Sons, Inc., Publication
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    Programming a Quantum Computer with Cirq (QuantumCasts)
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    Principios Fundamentales de Computación cuántica
    Vicente Moret Bonillo
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    QC — Quantum Algorithm with an example
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    [W] Wikipedia
    Consultas a Wikipedia de múltiples conceptos relacionados a la Mecánica y Computación Cuántica
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    Programación Cuántica
    Francisco Gálvez
    T3chFest 2017
    IBM
    https://www.youtube.com/watch?v=FYAkeCcOgeQ

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    Hipertexto: Tratamiento Documental de Datos
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    Algoritmo para el Cambio de Base Numérica
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    Algoritmo, Generación Distribución Aleatoria Discreta de Suma 1
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    11 de julio 2012
    DocIRS Technology
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  • [B18]
    Naïve Bayes ~ Simple Algoritmo de Clasificación Modelo de Variables Discretas
    José Enrique González Cornejo
    01 de agosto 2019
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • [B19]
    Problema de la Ruta Optima
    José Enrique González Cornejo
    01 de mayo 2009
    DocIRS Technology
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  • [B20]
    Nomenclatura DocIRS para la Programación
    José Enrique González Cornejo
    24 de abril 2009
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    Acerca del Estilo en Programación
    José Enrique González Cornejo
    18 de abril 2009
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    Acerca de la Calidad de una Aplicación
    José Enrique González Cornejo
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    DocIRS Technology
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    Fundamentos Teóricos de los Lenguajes Estructurados
    José Enrique González Cornejo
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    DocIRS Technology
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    Propiedades Geométricas Cualitativas
    José Enrique González Cornejo
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    Lunch & Learn: Quantum Computing
    Andrea Morello
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    21 Lessons for the 21st Century
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    Yuval Noah Harari 11 octubre 2018


  • [B27]
    Homo-Deus-A-Brief-History-of-Tomorrow
    Universidad de California,
    Yuval Noah Harari
    27 febrero 2017

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    MIND BLOWN: Quantum Computing & Financial Arbitrage
    Andrea Morello
    Quantum Engineering at University of New South Wales Australia
    18 jun. 2020

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    Algoritmo cuántico de Deutsch y Jozsa en GAMA
    M. Paredes López - A. Meneses Viveros - G. Morales-Luna
    Departamento de Matemáticas, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
    Departamento de Computación, Cinvestav, Av. Instituto Politécnico Nacional 2508, CDMX
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    Principios Fundamentales de Computación Cuántica
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    Informática Cuántica - Parte 1
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    Publicado el 26 de septiembre de 2016 por Sergio Montoro
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    Intro to Quantum Computing
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  • [B34]
    Learn Quantum Computation using Qiskit
    Page created by The Jupyter Book Community
    Qiskit Development Team Last updated on 2020/07/17.

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    Disfruta de la Experiencia cuántica de IBM
    Francisco R. Villatoro (Francis Naukas)
    2 noviembre, 2018
    https://francis.naukas.com/2018/11/02/disfruta-de-la-experiencia-cuantica-de-ibm/

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    Inversión de Matrices de Números Complejos
    reshish.com 2011 - 2020
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    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
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    Desarrollo de un simulador para el protocolo de criptografía cuántica E91 en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez, Roberto Fritis, Palacios, Patricio Collao Caiconte

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    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
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    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
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    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

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    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
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    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


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    Apuntes de Grupos de Lie
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    1.2. Grupos de Lie

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    Teoria de Grupos
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    Bibioteca de Matemática Superior
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    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
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    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM(Universidad Nacional Autónoma de México)
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    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

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    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

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    Frank Harary,
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    Addison-Wesley
    USA

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    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • Paginas Independientes que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy









  • v.9.1/Marzo 2020 ~ Upgrade 17/04/2021










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