Ecuaciones Diferenciales ~ Definición de Superficie Suave ~ Geometría Diferencial

Ecuaciones Diferenciales
Definición de Superficie Suave

Geometría Diferencial

José Enrique González Cornejo
diciembre 2025

Introducción

El objetivo de esta presentación es mostrar cómo una superficie suave y diferenciable puede definirse a partir de un conjunto simple de ecuaciones diferenciales ordinarias, explicando su significado geométrico y las razones por las cuales estas ecuaciones garantizan suavidad.

Se adopta el enfoque estándar de la geometría diferencial, utilizando dos tipos de EDO: ecuaciones diferenciales simples y ecuaciones diferenciales parametrizadas. Ambas describen curvas suaves, las cuales pueden interpretarse como subvariedades unidimensionales del plano $\mathbb{R}^2$ o, mediante la introducción de parámetros adicionales, como superficies parametrizadas en espacios de mayor dimensión¹.

Definición de una superficie mediante EDOs

Curva suave no parametrizada

Una curva suave $C$ en el plano puede definirse como la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Por ejemplo,

$$ \frac{dy}{dx} = f(x) $$
Consideremos el caso particular:
$$ \frac{dy}{dx} = 2x $$
Integrando respecto de $x$:
$$ y(x) = \int 2x \, dx = x^2 + C $$
Se obtiene así una familia de soluciones, donde cada valor de la constante $C \in \mathbb{R}$ define una curva distinta. Este conjunto de curvas puede interpretarse como una foliación del plano $\mathbb{R}^2$.

Plano foliado por parábolas²

$\large{\implies}$

∘ Cada valor de $C$ define una curva suave distinta.

∘ El conjunto de todas las soluciones forma una familia continua de curvas.

∘ Cada curva es una subvariedad suave unidimensional de $\mathbb{R}^2$.

De este modo, el plano queda foliado³ por parábolas que no se intersectan, generando una estructura suave. Esto ilustra cómo una curva suave puede definirse naturalmente como solución de una ecuación diferencial ordinaria.

Curva suave Parametrizada

Ahora se construye una superficie suave en $\mathbb{R}^3$ a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias parametrizadas. Estas ecuaciones definen una familia de curvas integrales que, al variar un parámetro adicional, generan una superficie completa.

Sean $s$ el parámetro de la curva y $t$ el parámetro que indexa la familia de curvas. Se considera el sistema:

$$ \begin{cases} \frac{dx}{ds} = \cos t \\ \frac{dy}{ds} = \sin t \\ \frac{dz}{ds} = s \end{cases} $$
con condiciones iniciales:
$$ x(0,t)=0,\quad y(0,t)=0,\quad z(0,t)=0 $$
Integrando respecto de $s$, se obtiene⁴:
$$ \begin{aligned} x(s,t) &= s\cos t, \\ y(s,t) &= s\sin t, \\ z(s,t) &= \tfrac{1}{2}s^2. \end{aligned} $$
Esto define la parametrización:
$$ \Phi(s,t) = \big(s\cos t,\, s\sin t,\, \tfrac12 s^2\big). $$

Superficie suave construida a partir de EDOs parametrizadas⁵

$\large{\implies}$

∘ Para cada valor fijo de $t$, se obtiene una curva parabólica.

∘ Al variar $t$, estas curvas rotan alrededor del eje vertical.

∘ El resultado es un paraboloide suave.

Geométricamente, esta construcción muestra cómo una Inmersión diferenciable

puede obtenerse explícitamente a partir de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Conclusión

Un conjunto de ecuaciones diferenciales suaves define una curva o superficie suave cuando sus soluciones existen, son únicas y poseen vectores tangentes no degenerados.

En términos generales, una curva suave en el plano puede describirse como la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo:
$$ \begin{cases} \dot{x}(t) = f(x(t), y(t)) \\ \dot{y}(t) = g(x(t), y(t)) \end{cases} $$

Si las funciones $f$ y $g$ son suaves ($C^\infty$), entonces las soluciones existen localmente, dependen suavemente de los parámetros y generan curvas suaves.

En geometría diferencial, el punto $x(t)$ pertenece a la variedad $M$, mientras que $\dot{x}(t)$ representa un vector tangente en ese punto, es decir, \[ \dot{x}(t) \in T_{x(t)}M. \]

Campo Vectorial Alredor Esfera⁶

Así, cada curva induce de manera natural un campo de vectores tangentes a lo largo de su trayectoria.