 Función de Producción DocIRS
Introducción
Nótese que la clasificación de las invenciones y las innovaciones, así como optimización de mano de obra (Trabajo), se puede demostrar con el uso del análisis elemental de isocuantas. El concepto de una isocuanta o "curva de productos iguales" es un lugar geométrico de todas las combinaciones de capital $K$ y trabajo $L$, para una tecnología cuya resultante tiene un nivel idéntico de producción física.
Función de Producción Cobb-Douglas
Cobb–Douglas: Función de Produccion
La función de producción Cobb-Douglas es uno de los modelos matemáticos más utilizados en economía para representar la relación entre los factores productivos utilizados por una empresa —principalmente capital y trabajo— y la cantidad de producción obtenida.
Fue propuesta originalmente por Charles W. Cobb y Paul H. Douglas en la década de 1920, a partir del estudio de la producción de la economía estadounidense.
$$P= A · K^{\alpha} · L^{\beta} \qquad\quad[1]$$
donde:
$P$ : Producción total (el valor los ingresos producidos
durante un periodo)
$L$ : Trabajo Insumo
$K$ : Capital Insumo
$A$ : Factor Total de Productividad
$\alpha$ y $\beta$ son las elasticidades producto del trabajo y el capital, respectivamente. Estos valores son constantes determinadas por la tecnología disponible.
Las elasticidad del producto $P$ mide la respuesta del
producto a un cambio en los niveles del trabajo $L$ o del capital usados en
la producción, si permanecen constantes los demás factores.
Asumiremos rendimientos constantes a escala:
$$\alpha + \beta = 1$$
Donde $\alpha , \beta$ son valores Reales llamados
elasticidades, las cuales se obtienen a linearizar la función $[1]$,
aplicando logaritmo natural. En efecto:
$$Ln(P)=ln(A) + \alpha·Ln(K) + \beta·Ln(L)\qquad\quad [2]$$
Entonces, los coeficientes \(\alpha\)· y \(\beta\) pueden estimarse estadísticamente mediante una regresión lineal.
Para tener una visión estratégica del estado de progreso y eficiencia de una empresa de tecnología, es útil configurar un marco referencial con la función Cobb Douglas.
Para diagramar la isocuanta se aplican logaritmos naturales, dado que con las propiedades de los logaritmos permiten transformar el producto $P=A·K^{\alpha}·L^{\beta}$ a una expresión lineal como se señala en $[2]$.
Sea $P^*=Ln(P)$, entonces aplicando logaritmo natural en ambos miembros de la expresión rotulada en $[1]$.
Esta transformación permite aplicar regresiones lineales se expresa el modelo de la siguiente forma:
$$P^{*}=A^{*}+ \alpha K^{*}+\beta L^{*}$$
Donde
$$A^{*}=ln(A),\\ P^{*} =ln(P),\\L^{*}=ln(L)$$
De este modelo lineal se deduce que los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son las elasticidades.
La elasticidad es la razón formada entre el cambio
proporcional de una variable con respecto del cambio proporcional de otra
variable.
En este caso, un cambio porcentual en uno de los coeficientes
tendrá un efecto proporcional en la variable dependiente $P^{*}$.
Nótese que basta derivar parcialmente $P^{*}$ con respecto a una las dos variables $L^{*}$, $K^{*}$ y
obtendremos la definición de elasticidad, para curvas totalmente diferenciables.
La fórmula matemática es:
$$\alpha=E_{P(K)}=\frac{\partial ln(P)}{\partial ln(K)}\qquad \land \qquad \beta = E_{P(L)}= \frac{\partial ln(P)}{\partial ln(L)}$$
Donde $K,L$ representan los insumos o factores del producto $P$.
La ventaja conceptual de Cobb-Douglas es que los mismos parámetros \(\alpha\) y \(\beta\) permiten interpretar simultáneamente la sensibilidad de la producción frente a cada factor y, mediante su suma, los rendimientos a escala.
Eficiencia Económica de Michael J. Farrell
Video Asociado
Método Eficiencia Relativa de Michael J. Farrell
Artículo más detallado y actualizado en:
Anexo Método Eficiencia Relativa de Michael J. Farrell 
Nota matemática acerca de la Isocuanta.
La función de producción es de la forma. $z=f(x,y)$,
simplificando $z=xy$, donde se asigna un nivel de producción constante
$c$.
Es decir, sea $z=c$, donde $c \gt 0$ es constante en $\mathbb R$.
En otros terminos , se hace un corte en $z=c$ y queda la curva en el plano
cartesiano llamada isocuanta, donde toda combinación o producto de los
factores $x$ e $y$ es igual a $c$, generándose una
curva con infinitas posibilidades.
Se define la isocuanta en los Reales positivos
$$f: \mathbb R^{+}\longrightarrow \mathbb R^{+}$$
Nótese que la función está definida para $x\in R, x \gt 0$, donde algunas propiedades de la función son:
La función $f$ es continua.
La función $f$ es decreciente.
La función $f$ es cóncava hacia arriba (o convexa).
Los ejes $x=0$ e $y = 0$ son asíntotas.
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