A mis alumnos de la Universidad Jorge Tadeo Lozano, entre 1982 y 1985 en  Bogotá - Colombia
JEGC

Forma General - Función a Analizar

Consideremos una función de la forma:

$$\style{border-style: solid; border-width: 1px; padding: 12px;border-radius:12px;border-color:#c0c0c0;}{F(x) = Ln( \frac{ax+b}{cx+d})}$$

Introducción

Se describe un ejercicio representativo del cálculo infinitesimal, analizando las propiedades básicas de una función en una variable. Se utiliza la función logaritmo natural, cuyo argumento se indefine en un intervalo de los Reales.

A este fin, se realiza una composición de funciones $F(x)$ = f $\circ $ g = f[g(x)]. Tomando la función g(x), - también en los Reales-, de la forma $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, donde los coeficientes a,b,c,d valores reales son diferentes de cero y $x \neq -\frac{d}{c}$. Luego, al aplicar a g(x) la función $f(x) = Ln(x)$ obtenemos $F(x)$ que analizaremos con un ejemplo.

La idea central del ejercicio, es desarrollar y hacer una representación gráfica de las propiedades de la función, a fin utilizar conceptos de modelación y técnicas matemáticas de Cálculo, las cuales se producen a través relaciones entre variables. Se aplica logaritmo natural para ilustrar que el comportamiento de las curvas, - tanto $F(x)$ como la de su argumento $g(x)$ -, las cuales son semejantes. Sólo que la escala logarítmica aplana los valores y obliga a comprender su uso con dos asíntotas horizontales y la aplicación de desigualdades.

i) Función de R en R

Sea una función $F: R \rightarrow R$, tal que:
$$\style{border-style: solid; border-width: 1px; padding: 12px;border-radius:12px;border-color:#c0c0c0;}{F(x) = Ln( \frac{2x + 1}{x - 1 })}\qquad [1]$$

$\Rightarrow x \neq1 $ (Asíntota vertical en $x = 1 $)

El argumento de toda función logarítmica es siempre mayor que cero, i.e. si $\Theta=\frac{2x+1}{x - 1}$ entonces Ln($\Theta$) está definido en R sí y sólo sí $\Theta>0$.

Luego, $$ \Theta= \frac{2x+1}{x - 1}>0$$

Por tanto:

$(2x+1)>0 \quad\land \quad (x-1)>0$

$\lor$

$(2x+1)<0 \quad\land \quad(x-1)<0$

$$\Rightarrow Df = ]-∞, -\frac {1}{2}[ \quad \cup \quad ]1,∞[$$

Esto implica que el Dominio de Definición de la función [1], está definido en: R menos el intervalo cerrado entre -$ \frac {1}{2}$ y 1. Es decir,

iii) Límites

Es claro que en los límites por la izquierda y por la derecha de los puntos $-\frac {1}{2}^-1$ y $1^+$ respectivamente, se constituyen en asíntotas verticales.

Nótese que límite por la derecha de $ \frac {1}{2}$ no está definido, como así mismo el límite por la izquierda de $1$. Dado que el intervalo cerrado $[-\frac {1}{2},1]$ se extrajo del eje de lo Reales para definir $Df$. Por tanto, esos puntos extremos de ese intervalo no están incluidos en el Dominio de Definición de $F(x)$.

En efecto,

Gráfica 1

Ambos límites $y$ de $x \rightarrow \pm\infty$ convergen a $ln(2)$. Por un lado límite de $y$ cuando $x \rightarrow +\infty$ tiende por arriba y por otro lado el límite de $y$ cuando $x \rightarrow -\infty$ tiende por abajo. (Ver Gráfica 1)

$$\lim_{x\to \pm\infty} (Ln( \frac{2x + 1}{x - 1 })) = Ln(2) = 0.69314$$

Nótese que si resolvieramos en forma algebraica el límite del argumento de $F(x)$, entonces:

$$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x - 1 }$$

$$\lim_{x\to \pm\infty} \require{cancel}\cancel{\frac{x}{x}}\Biggl(\frac{2 + \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}{1 - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}\Biggr) = 2$$

iv) Intersección en los Ejes

El corte del eje $x$ de la función definida en [1], es cuando y=0. Es decir, cuando el argumento del logaritmo es 1, dado que $e^{0} = 1$, donde la constante $e = 2,7182818... $ es la base del logaritmo neperiano o natural.

$$ \frac{2x+1}{x - 1} = 1 \quad\Rightarrow \quad x = -2 $$

Corte en eje de las ordenadas no existe, dado que $x = 0$ no está en el dominio de definición.

v) Rango de $F(x)$

El Rango de la función definida en [1] en R es el intervalo:$R$-{$Ln(2)$}

Es decir, F(x) tiene una asíntota horizontal paralela al eje de las abscisas $x$. Significa que el valor $y=Ln(2)$ no está en el plano para esta función.

vi) Gráfica de $F(x)$: Asíntotas y Corte de Eje

El el bosquejo de la gráfica presenta la siguiente forma:

Gráfica 2

Dos asíntotas verticales:
$$x = - \frac {1}{2}\qquad y\qquad x = 1$$
Es decir, ambas paralelas al eje $y$ de la ordenadas. Valores que no están dentro del dominio definición de la función $F(x)$.

Una asíntota horizontal en:
$$y = Ln (2) = 0,69314$$

La curva corta el eje de las abscisas cuando x = -2. Es decir,

$$F(-2) = 0$$

vii) Continuidad

La función $F(x)$ definida en [1] no es continua en todos los Reales, si es continua separadamente en cada uno de los intervalos:

Obviamente no presenta puntos críticos, dado que:

$\Rightarrow$

$\Rightarrow$

Donde

(Ver ii)

viii) Propiedades de Correspondencia

La función no es biyectiva de acuerdo a la definición en [1], dado que no es sobre o suprayectiva.

Si se trata separadamente por uno de los intervalos del Dominio de Definición descrito en (ii) - Por ejemplo el intervalo ]1, +∞[ se considera como imagen el Rango descrito en (iv). Entonces, se construye una función G continua y biyectiva (1-1 y Sobre) en ese tramo del plano.

En efecto, sea

Tal que, $$G(x) = Ln( \frac{2x + 1}{x - 1 })\qquad [2]$$

ix) Inversa de G(x)

Si la función definida en [2] es biyectiva, entonces tiene inversa.

Sea y = G^-1(x) la función inversa, $\Rightarrow$

$\Rightarrow$

$$ e^x = \frac{2y + 1}{y - 1}$$

Luego se despeja, usando una variable auxiliar. Sea u = y - 1, entonces sustituyendo en la expresión se transforma en:

$$ e^x = \frac{2u + 3}{u}$$

$\Rightarrow$

Sustituyendo u y despejando y $\Rightarrow$

Simplificando la expresión, tenemos la función inversa definida en [2]

$$G^{-1}(x) = \frac{e^x+1}{e^x+2}$$

x) Integral de $F(x) = Ln(\frac{2x + 1}{x - 1 })$

$$\int Ln(\frac{2x + 1}{x - 1})dx $$

Se descompone la integral utilizando las propiedades del logaritmo: $Ln(\frac{a}{b})=Ln(a)-Ln(b)$ y la propiedad de la integral de una suma, que es igual a la suma de sus integrales.

Luego, se resuelve cada una de las integrales, utilizando la fórmula general para resolver integrales del logaritmo neperiano de funciones lineales.

$$\style{border-style: solid; border-width: 1px; padding: 12px;border-radius:12px;border-color:#c0c0c0;}{ \int Ln(ax+b)dx =\Biggl(x + \frac{a}{b}\Biggr) Ln(ax+b)-x,\qquad a\neq 0 }$$ Ver CRS Publication- Standard Mathematical Tables - Library of Congres Card

Por tanto, aplicando $Ln(\frac{a}{b})=Ln(a)-Ln(b)$ con las resultantes de a) y b) se obtiene:

$$\int Ln(\frac{2x + 1}{x - 1})dx =\Biggl (x + \frac{1}{2}\Biggr) Ln(2x+1)-x) - (x -1) Ln(x-1) - 2x + C$$

xi) Conclusión

Tras el análisis de la función definida en [1], el objetivo planteado en la introducción se cumplió. En efecto, se pudo pasar por una serie de conceptos estudiados en el Cálculo Infinitesimal.

Comenzar por el concepto de función en una variable dentro de los Reales, determinar el dominio de definición de una función compuesta, repasar los conjuntos abiertos o cerrados, utilizar la composición de funciones, verificar la utilización del logaritmo natural y sus propiedades, aplicar límites en los puntos extremos donde se producen discontinuidades, concluir dónde y cómo la función se puede trabajar en forma biyectiva, establecer su inversa, derivarla, ver si tiene puntos críticos, comparar las gráficas simple y compuesta, para finalmente integrar la función.

Aquellos que comprenden el método y técnicas matemáticas de este tipo de ejercicios, pronto encontrarán formas de aplicarlo en modelación y análisis de importantes trabajos.

xii) Ejemplo Aplicación

Un ejemplo, de mejor comprensión es la utilización de curvas isocuantas, especialmente en funciones de producción. La más representativa es la Cobb-Douglas. Esta función no lineal, se lineariza aplicándole el logaritmo natural y de esa forma es posible regresar las variaciones, entre un nivel constante de producción y sus insumos (tecnología, trabajo y capital, en tanto variables explicativas de la función). (Ver aplicación en Función de Producción DocIRS)