Análisis de una
Función Logarítmica Asintótica en los Reales
José Enrique González Cornejo
Ejercicio de Cálculo
Bogotá Colombia/1982~ Universidad Jorge Tadeo Lozano
Forma General - Función a Analizar |
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Consideremos una función de la forma:
Introducción Se describe un ejercicio representativo del cálculo infinitesimal, analizando las propiedades básicas de una función en una variable. Se utiliza la función logaritmo natural, cuyo argumento se indefine en un intervalo de los Reales. A este fin, se realiza una composición de funciones $F(x)$ = f $\circ $ g = f[g(x)]. Tomando la función g(x), - también en los Reales-, de la forma $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, donde los coeficientes a,b,c,d valores reales son diferentes de cero y $x \neq -\frac{d}{c}$. Luego, al aplicar a g(x) la función $f(x) = Ln(x)$ obtenemos $F(x)$ que analizaremos con un ejemplo. La idea central del ejercicio, es desarrollar y hacer una representación gráfica de las propiedades de la función, a fin utilizar conceptos de modelación y técnicas matemáticas de Cálculo, las cuales se producen a través relaciones entre variables. Se aplica logaritmo natural para ilustrar que el comportamiento de las curvas, - tanto $F(x)$ como la de su argumento $g(x)$ -, las cuales son semejantes. Sólo que la escala logarítmica aplana los valores y obliga a comprender su uso con dos asíntotas horizontales y la aplicación de desigualdades. i) Función de R en R Sea una función $F: R \rightarrow R$, tal que:
$\Rightarrow x \neq1 $ (Asíntota vertical en $x = 1 $) ii) Dominio de Definición El argumento de toda función logarítmica es siempre mayor que cero, i.e. si $\Theta=\frac{2x+1}{x - 1}$ entonces Ln($\Theta$) está definido en R sí y sólo sí $\Theta>0$. Luego, $$ \Theta= \frac{2x+1}{x - 1}>0$$ Por tanto: $(2x+1)>0 \quad\land \quad (x-1)>0$ $\lor$ $(2x+1)<0 \quad\land \quad(x-1)<0$ $$\Rightarrow Df = ]-∞, -\frac {1}{2}[ \quad \cup \quad ]1,∞[$$ Esto implica que el
Dominio de Definición de la función [1],
está definido en: R menos el intervalo cerrado entre -$ \frac {1}{2}$ y 1. Es decir,
iii) Límites Es claro que en los
límites por la izquierda y por la derecha de los puntos $-\frac {1}{2}^-1$ y $1^+$ respectivamente, se constituyen en asíntotas verticales.
![]() Gráfica 1
Ambos límites $y$ de $x \rightarrow \pm\infty$ convergen a $ln(2)$. Por un lado límite de $y$ cuando $x \rightarrow +\infty$ tiende por arriba y por otro lado el límite de $y$ cuando $x \rightarrow -\infty$ tiende por abajo. (Ver Gráfica 1) $$\lim_{x\to \pm\infty} (Ln( \frac{2x + 1}{x - 1 })) = Ln(2) = 0.69314$$ Nótese que si resolvieramos en forma algebraica el límite del argumento de $F(x)$, entonces: $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x - 1 }$$ $$\lim_{x\to \pm\infty} \require{cancel}\cancel{\frac{x}{x}}\Biggl(\frac{2 + \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}{1 - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}\Biggr) = 2$$ iv) Intersección en los Ejes El corte del eje $x$ de la función definida en [1], es cuando y=0. Es decir, cuando el argumento del logaritmo es 1, dado que $e^{0} = 1$, donde la constante $e = 2,7182818... $ es la base del logaritmo neperiano o natural.
![]() Corte en eje de las ordenadas no existe, dado que $x = 0$ no está en el dominio de definición. v) Rango de $F(x)$ El Rango de la función definida en [1] en R es el intervalo:$R$-{$Ln(2)$}
![]()
Es decir, F(x) tiene una asíntota horizontal paralela al eje de las abscisas $x$. Significa que el valor $y=Ln(2)$ no está en el plano para esta función.
vi) Gráfica de $F(x)$: Asíntotas y Corte de Eje El el bosquejo de la gráfica presenta la siguiente forma: ![]() Gráfica 2 Dos asíntotas verticales: Una asíntota horizontal en:
La curva corta el eje de las abscisas cuando x = -2. Es decir, vii) Continuidad La función
$F(x)$ definida en [1] no es continua en todos los Reales, si es continua separadamente en cada uno de los intervalos: Obviamente no presenta puntos críticos, dado que: $$F'(x) = \frac {1}{u}u'$$$\Rightarrow$ $$\frac {dx}{dy} = \frac {(x-1)}{(2x+1)}\Biggl( \frac {2(x-1)(2x+1)-(2x+1)}{(2x+1)^2} \Biggr) $$$\Rightarrow$ $$\frac {dx}{dy} = \frac {-1}{(x-1)(2x+1)}$$Donde $$\frac {dx}{dy}\neq 0\qquad \forall x \in D_f$$(Ver ii) viii) Propiedades de Correspondencia La función no es biyectiva de acuerdo
a la definición en [1], dado que no es sobre o suprayectiva.
En efecto, sea $$G:\quad ]1, +∞[ \rightarrow \quad ]Ln(2),+∞[$$Tal que, $$G(x) = Ln( \frac{2x + 1}{x - 1 })\qquad [2]$$ ix) Inversa de G(x) Si la función definida en [2] es biyectiva, entonces tiene inversa. $\Rightarrow$ $$ e^x = \frac{2y + 1}{y - 1}$$
Luego se despeja, usando una variable auxiliar. Sea u = y - 1, entonces sustituyendo en la expresión se
transforma en:
$\Rightarrow$ $$ e^x = \frac{2u + 3}{u}$$Sustituyendo u y despejando y $\Rightarrow$ $$ y = \frac{3}{e^x - 2}+1$$Simplificando la expresión, tenemos la función inversa definida en [2] $$G^{-1}(x) = \frac{e^x+1}{e^x+2}$$ x) Integral de $F(x) = Ln(\frac{2x + 1}{x - 1 })$
$$\int Ln(\frac{2x + 1}{x - 1})dx $$
Se descompone la integral utilizando las propiedades del logaritmo: $Ln(\frac{a}{b})=Ln(a)-Ln(b)$
y la propiedad de la integral de una suma, que es igual a la suma de sus integrales.
$$\style{border-style: solid; border-width: 1px; padding: 12px;border-radius:12px;border-color:#c0c0c0;}{ \int Ln(ax+b)dx =\Biggl(x + \frac{a}{b}\Biggr) Ln(ax+b)-x,\qquad a\neq 0 }$$ Ver CRS Publication- Standard Mathematical Tables - Library of Congres Card $$ a)\quad \int Ln(2x+1)dx =\Biggl (x + \frac{1}{2}\Biggr) Ln(2x+1)-x$$ $$ b)\quad \int Ln(x-1)dx = (x -1) Ln(x-1) - x,$$
$$\int Ln(\frac{2x + 1}{x - 1})dx =\Biggl (x + \frac{1}{2}\Biggr) Ln(2x+1)-x) - (x -1) Ln(x-1) - 2x + C$$ xi) Conclusión Tras el análisis de la función definida en [1], el objetivo planteado en la introducción se cumplió. En efecto, se pudo pasar por una serie de conceptos estudiados en el Cálculo Infinitesimal. Comenzar por el concepto de función en una variable dentro de los Reales, determinar el dominio de definición de una función compuesta, repasar los conjuntos abiertos o cerrados, utilizar la composición de funciones, verificar la utilización del logaritmo natural y sus propiedades, aplicar límites en los puntos extremos donde se producen discontinuidades, concluir dónde y cómo la función se puede trabajar en forma biyectiva, establecer su inversa, derivarla, ver si tiene puntos críticos, comparar las gráficas simple y compuesta, para finalmente integrar la función. Aquellos que comprenden el método y técnicas matemáticas de este tipo de ejercicios, pronto encontrarán formas de aplicarlo en modelación y análisis de importantes trabajos. xii) Ejemplo Aplicación Un ejemplo, de mejor comprensión es la utilización de curvas isocuantas, especialmente en funciones de producción. La más representativa es la Cobb-Douglas. Esta función no lineal, se lineariza aplicándole el logaritmo natural y de esa forma es posible regresar las variaciones, entre un nivel constante de producción y sus insumos (tecnología, trabajo y capital, en tanto variables explicativas de la función). (Ver aplicación en Función de Producción DocIRS) |
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