function buscarTripletas(N) {

    const soluciones = [];
    const Cmin = Math.ceil(Math.sqrt(N / 3));
    const Cmax = Math.floor(Math.sqrt(N - 2));

    for (let A = 1; A <= Math.floor(Math.sqrt(N / 3)); A++) {

        for (let B = A; B <= Math.floor(Math.sqrt((N - A * A) / 2)); B++) {

            const resto = N - A * A - B * B;

            if (resto <= 0) {
                continue;
            }

            const C = Math.sqrt(resto);

            // C debe ser entero y además B <= C
            if (Number.isInteger(C) && B <= C && C <= Cmax) {

                soluciones.push([A, B, C]);
            }
        }
    }

    return soluciones;
}



const N = 2026;
const soluciones = buscarTripletas(N);

document.getElementById("td_problema").innerHTML="
Soluciones para  A² + B² + C² ="+ N + "

Número de soluciones : " + soluciones.length

var sGuarda=""

soluciones.forEach((s, i) => {
    const [A, B, C] = s;


	sGuarda = sGuarda + `${i + 1}.   -->    (${A}, ${B}, ${C})  =  ` + `${A}² + ${B}² + ${C}² = ${N}
` 
});
document.getElementById("td_solucion").innerHTML="
" + sGuarda

• i) Circunferencia \(K_1\)


Como \( M \) es el centro de \(K_1\) y \( A,C \) pertenecen a \(K_1\),

$$ MA=MC. $$
Por tanto, el triángulo \( AMC \) es isósceles. Además,

$$ \angle AMC=90^\circ. $$
Entonces los otros dos ángulos son iguales y suman (90^\circ):

$$ \angle MAC=\angle ACM=45^\circ. $$
Como (A,M,B) están alineados,

$$ \angle ACM=45^\circ. $$


• ii) Circunferencia \(K_2\)

Ahora utilizamos la segunda circunferencia. Según la figura:

- \(N\) es el centro de \(K_2\)
- \(C,B,M \) pertenecen a \(K_2\)
- \(C,N,B \) están alineados.

\( \implies \)

\( \overline{CB} \) es un diámetro de \(K_2\).

En efecto,

$$ NC=NB=NM, $$
porque son radios de \( K_2 \).

Por el teorema de Tales, el ángulo que subtiende el diámetro \( \overline{CB} \), desde cualquier punto de la circunferencia, es recto. Como \( M \in K_2 \),

$$ \angle CMB=90^\circ $$



• iii) El triángulo \( CMB \)

Tenemos además que

$$ MC=MB $$
Dado que ambos son radios de \(K_2\). Por tanto, \( CMB \) es un triángulo rectángulo isósceles, con

$$ \angle CMB=90^\circ $$
Los otros dos ángulos son necesariamente

$$ \angle MCB=\angle CBM=45^\circ $$
Así,

$$ \angle MCB=45^\circ $$



• iv) Determinamos \( \angle ACB \)

En el vértice \( C \), el segmento \( CM \) divide el ángulo \(ACB\):

$$ \angle ACB=\angle ACM+\angle MCB $$
Ya sabemos que

$$ \angle ACM=45^\circ $$
y

$$ \angle MCB=45^\circ $$
Por consiguiente,

$$ \angle ACB=45^\circ+45^\circ $$
y finalmente

$$ \boxed{\angle ACB=90^\circ}. $$



• Resultado




$$ \boxed{\displaystyle \angle ACB=90^\circ} $$
Es decir, el triángulo \( ABC \) es rectángulo en \( C \).

La demostración tiene una simetría:

$$ \underbrace{\angle ACM}_{45^\circ} + \underbrace{\angle MCB}_{45^\circ} = \boxed{90^\circ}. $$
Este resultado se obtiene a partir de que \( AMC \) es rectángulo isósceles y \( \overline{CB} \) es un diámetro de \(K_2\).

QED//

• Caso \( x=0 \)

La segunda ecuación queda

$$ y(y-1)=0. $$
Luego

$$ y=0\quad\lor\quad y=1 $$
$$\implies$$

$$ (0,0),\ (0,1) $$


• Caso \( y=0 \)

La primera ecuación queda

$$ x(x-1)=0 $$
Por tanto,

$$ x=0\quad \lor \quad x=1 $$
El par \((0,0)\) ya fue encontrado, y aparece además:

$$ (1,0) $$


• Caso \( x\neq 0 \land y \neq 0 \)

En este caso podemos dividir, respectivamente, por \( x \) y por \( y \):

$$ x+y^2=1 $$
$$\land$$
$$ y+x^2=1 $$
$$\implies$$

$$ \begin{cases} x+y^2=1,\ y+x^2=1 \end{cases} $$
Restando ambas ecuaciones:

$$ x+y^2-y-x^2=0 $$
Luego,

$$ x-x^2+y^2-y=0 $$
Factorizando:

$$ x(1-x)-y(1-y)=0 $$
De donde,

$$ x-x^2+y^2-y =(x-y)(1-x-y) $$
Por tanto,

$$ (x-y)(1-x-y)=0 $$
Surgen dos variantes:


• Subcaso i) \( x=y \)

Sustituyendo en

$$ x+y^2=1 $$
Se obtiene:

$$ x+x^2=1 $$
Por tanto,

$$ x^2+x-1=0 $$
Aplicando la fórmula cuadrática:

$$ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $$
Como \( y=x \), se tienen dos soluciones:

$$ \left(\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1+\sqrt5}{2}\right) \\ \ \\ \left(\frac{-1-\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right) $$



• ii) Subcaso \( x+y=1 \)

Sustituyendo

$$ y=1-x $$
en

$$ x+y^2=1 $$

Resulta:

$$ x+(1-x)^2=1 $$
Desarrollando:

$$ x+1-2x+x^2=1 $$

$$ x^2-x=0. $$
$$\implies$$

$$ x(x-1)=0 $$
Luego,

$$ x=0\quad \lor \quad x=1 $$

Pero esto produce solamente

$$ (0,1) $$
$$\land$$

$$ (1,0) $$
que ya habíamos encontrado.

Por tanto, todos los pares de números reales que satisfacen el sistema son:

$$ \bbox[white,8px,border:1px solid #c0c0c0] { \{ (0,0), (0,1), (1,0), \left(\frac{-1+\sqrt5}{2},\frac{-1+\sqrt5}{2}\right), \left(\frac{-1-\sqrt5}{2},\frac{-1-\sqrt5}{2}\right) \} } $$
En consecuencia, se demuestra que el sistema posee exactamente

$$ 5\text{ soluciones reales} $$
La clave de la resolución está en que, para \( x\neq 0 \quad\land\quad y \neq 0 \), las ecuaciones se reducen a

$$ x+y^2=1,\qquad y+x^2=1 $$
y su diferencia se factoriza como

$$ (x-y)(1-x-y)=0 $$
Esto divide inmediatamente el problema en las dos rectas algebraicas:

$$ x=y \qquad \lor \qquad x+y=1 $$
de donde surgen todas las soluciones.

QED.//

• \(100\) pesos por \(1\)
• \(500\) pesos por \(0\)

• i) Considérese todos los bloques de \( 10 \) monedas

Sea

$$ S_i=\text{número de monedas de \(100\) pesos entre las posiciones } \quad i \quad \land \quad i+9 $$
para

$$ i=1,2,\ldots,11 $$
Por ejemplo:

$$ S_1 $$
cuenta las monedas de \(100\) pesos entre las posiciones \(1\) y \(10\), mientras que

$$ S_{11} $$
cuenta las monedas de \(100\) pesos entre las posiciones \(11\) y \(20\).

Se observa algo fundamental: los dos primeros y últimos bloques forman toda la fila:

$$ \{1,\ldots,10\}\cup\{11,\ldots,20\} $$
$$\implies$$
$$ S_1+S_{11}=10 $$
porque en total existen exactamente diez monedas de \(100\) pesos.

De aquí se sigue que:

$$ \text{si }S_1=5,\quad \text{ya se terminó.} $$
Se asume entonces que \(S_1 \neq 5\)



Nota.- Así, la sucesión de ventanas comienza por encima de \(5\) y termina por debajo de \(5\): $$ \underbrace{S_1}_{\gt 5}, S_2,S_3,\ldots,S_{10}, \underbrace{S_{11}}_{ \lt 5}. $$ Pero cada desplazamiento de la ventana cambia el valor solamente en \(0\), \(+1\) o \(-1\). Por tanto, debe aparecer: $$ \bbox[white,8px,border:1px solid #c0c0c0]{S_i=5} $$ para alguna ventana intermedia.





• ii) Si el primer bloque tiene más de cinco monedas de \(100\) pesos

Se supone, sin pérdida de generalidad, que

$$ S_1 \gt 5 $$
Como

$$ S_1+S_{11}=10 $$
necesariamente
$$ S_{11}\lt 5 $$
Ahora, se pasa desde el primer bloque al siguiente desplazando la ventana una posición cada vez:

$$ S_1,S_2,S_3,\ldots,S_{11} $$
Al pasar de un bloque al siguiente, se elimina una moneda y se agrega otra. Por consiguiente,

$$ S_{i+1}-S_i\in\{-1,0,1\} $$
Es decir, la cantidad de monedas de \(100\) pesos puede aumentar o disminuir, como máximo, en una unidad.

Se tiene entonces una sucesión de números enteros que comienza con un número mayor que \(5\):

$$ S_1 \gt 5 $$
y termina con un número menor que \(5\):

$$ S_{11}\lt 5 $$
Como en cada paso la sucesión cambia a lo más en una unidad, necesariamente debe pasar por el valor \(5\).

Por lo tanto, existe algún índice \( i \), donde

$$ 1 \leq i \leq 11 $$
tal que

$$ S_i=5 $$
Pero el bloque correspondiente contiene \(10\) monedas en total. Si exactamente \(5\) son monedas de \(100\) pesos, las otras \(5\) deben ser necesariamente monedas de \(500\) pesos.

Por tanto, existe un grupo de diez monedas consecutivas formado por

$$ \large{5\text{ monedas de \(100\) pesos y } 5 \text{ monedas de \(500\) pesos}}. $$