|
|
Todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos. |
|
|
Método del Círculo Anexo Conjetura de Goldbach Descomposición Usando Series de Fourier José Enrique González Cornejo junio 2026 |
|
Breve Introducción Recordatoria de Series de Fourier
Este documento es un anexo y complementario del artículo y su video asociado "Conjetura de Goldbach- Sistema de Descomposición de un Entero Par Dos Sumandos Primos", a fin de explicar la linea matemática más prometedora hasta hoy, para resolver y convertir la conjetura de Goldbach en teorema. En efecto, se intenta explicar una de las líneas de investigación más influyentes en la búsqueda de una demostración de la Conjetura de Goldbach, presentando inicialmente una breve introducción recordatoria de la Series de Fourier y desde ahí se aborda con ejemplos el denominado método del círculo6, desarrollado dentro de la teoría analítica de números por G. H. Hardy y J. E. Littlewood. Este enfoque estudia la estructura global de los números primos a partir de su distribución estadística y densidad asintótica. Para ello, de manera brillante1, se recurre al análisis armónico mediante Series de Fourier, una de las herramientas más poderosas de las matemáticas modernas y de la física matemática. La idea central consiste en analizar los números primos como si produjeran una especie de "firma de frecuencias2, permitiendo detectar patrones ocultos dentro de su aparente irregularidad. Definición Series de Fourier Se dice que una función \(f(x)\) tiene período \(T\) o que es periódica de período \(T\) si para todo \(x\), \(f(x+T)=f(x)\), siendo \(T\) una constante positiva. El mínimo valor de \(T \gt 0\) se llama período mínimo o simplemente período de \(f(x)\). La serie de Fourier se puede definir tanto en el cuerpo de los números Reales \( \mathbb{R} \) como en el de los Complejos \( \mathbb{C} \) para una función \( f(x) \) en el intervalo abierto \(T=]-L, L[ \). La principal diferencia radica en la base de funciones utilizada: funciones trigonométricas para el caso real y exponenciales complejas para el caso complejo.3  Por ejemplo, la función \(\sin(x)\) en \( \mathbb R \) tiene períodos \(2\pi,4\pi,6\pi,\dots \), dado que \( \sin (x + 2\pi) = \sin(x+4\pi)= \sin(x+6\pi)=\dots = \sin(x)\), donde \(2\pi\) es el período mínimo de \(\sin(x)\). Es decir, tiene un patrón repetitivo. Luego, se le llama función periódica, donde el período es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. En general, cualquier señal periódica suficientemente regular puede construirse sumando senos y cosenos de distintas frecuencias, amplitudes y fases.  Formulaciones de la Serie de Fourier Sea \(f(x)\) definida en un intervalo abierto \( ]-L,L[ \) en \( \mathbb R \) y fuera de este intervalo por \(f(x+2L)=f(x)\). Esto, supone que \(f(x)\) tiene período \(T=2L\), de modo que la Serie de Fourier de \(f(x)\) se define mediante la siguiente expresión: \[ \bbox[8px,border:1px solid #c0c0c0]{ f(x)=\frac{a_0}{2}\quad+\quad\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos(\frac{n \pi x}{L})\quad+\quad b_n\sin(\frac{n \pi x}{L})\right)\qquad\quad[1] } \] Donde los coeficientes \(a_n\) y \(b_n\) son: \[ \large{ \left. \begin{array}{l} a_n=\quad\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)cos(\frac{n \pi x}{L})dx\\ \text{ }\\ \text{ con n=0,1,2,3,... }\\ \text{ }\\ b_n=\quad\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)sin(\frac{n \pi x}{L})dx \end{array} \right\} \quad[2] } \] Nótese \(f(x)\) es una serie trigonométrica que tiene período \(2L\), entonces los coeficientes \(a_n\) y \(b_n\) pueden determinarse también como: \[ \large{ \left. \begin{array}{l} a_n=\quad\frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L}f(x)cos(\frac{n \pi x}{L})dx\\ \text{ }\\ \text{ con n=0,1,2,3,... }\\ \text{ }\\ b_n=\quad\frac{1}{L}\int_{c}^{c+2L}f(x)sin(\frac{n \pi x}{L})dx \end{array} \right\} \quad[3] } \] Donde \(c \in \mathbb R \) es un número real cualquiera. En particular si \(c=L\) entonces la expresión \([3]\) se convierte en \([2]\). Para determinar \(a_0\) en la expresión \([1]\), se utilizan las expresiones \([2]\) y \([3]\) con \(n=0\). De \([2]\), con \(n=0\) se deduce que: \[ a_0=\quad\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\underbrace{\cos(0)}_{\text{1}} dx = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx\\ \text{ }\\ \text{i.e. el témino constante en [1]}\quad\implies\\ \text{ }\\ \frac{a_0}{2}=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \] que es el promedio de \(f(x)\) en el período. Por tanto si \(L=\pi \) las expresiones \([2]\) y \([3]\) son sencillas y el período es \(2\pi\). Deducción de los Coeficientes Es necesario remarcar que la deducción de los coeficientes \( \{a_0, a_n, b_n \}\) requieren una serie de aspectos y pasos algebráicos para obtenerlos. \[ \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(\frac{n \pi x}{L})\quad+\quad b_n\sin(\frac{n \pi x}{L})\right)}_{\text{Deteminar Condiciones de Convergencia}} \] Condiciones de Dirichlet Son un conjunto de hipótesis suficientes que garantizan que una función periódica pueda representarse mediante una Serie de Fourier y que dicha serie converja de manera controlada.
En efecto, dado que se debe integrar las expresión \([1]\), utilizar cálculo diferencial e integral en detalles especialmente identidades y propiedades trigonométricas. Asumiendo y después demostrando que se cumplen las condiciones de convergencia de la sumatoria infinita para la consistencia del desarrollo . \[ \int_{-L}^{L}f(x)dx= \frac{a_0}{2}\int_{-L}^{L}dx\quad +\quad\sum_{n=1}^{\infty} a_n\int_{-L}^{L} \cos(\frac{n \pi x}{L})dx \quad + \quad b_n\int_{-L}^{L} \sin(\frac{n \pi x}{L})dx \] Cuando se trabaja con una serie de Fourier con senos y cosenos, la función a que corresponde está por lo general definida en el intervalo \( ]0,L[ \) que es la mitad del intervalo \( ]-L,L[ \), razón por la cual se dice que la serie es de medio intervalo. Siendo además una función par o impar, que da claramente definida en la otra mitad del intervalo \( ]-L,0[ \), es ese caso: $$ \large{ \left\{ \begin{array}{c} a_n = 0,\quad b_n=\frac{1}{2L}\int_0^L f(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx \qquad \color{gray}{solo\ senos}\\ \\ \text{}\\ b_n = 0,\quad a_n=\frac{1}{2L}\int_0^L f(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx \qquad \color{gray}{solo\ cosenos}\\ \end{array} \right. } $$ Ejemplo Clásico de Aproximación $$ f(x)= \begin{cases} 1 & 0 < x < \pi \\ -1 & -\pi < x < 0\\ \end{cases} $$ La función periódica \(f(x)\), que representa una onda cuadrada, donde Fourier descubrió que puede aproximarse mediante la suma de infinitos senos  $$f(x)=\sin(x)+\frac{1}{3}\sin(3x)+\frac{1}{5}\sin(5x)+\frac{1}{7}\sin(7x) + \dots \\ \text{}\\ \text{}\\ f(x) \sim \sum_{k=1}^n \frac{\sin((2k-1)x)}{(2k-1)}\qquad k\in \mathbb N\\ \text{}\\ \text{}\\ n \longrightarrow \infty \implies \epsilon \longrightarrow 0 $$ A medida que aumenta el número de armónicos impares, la curva converge hacia la onda cuadrada ideal, ilustrando visualmente uno de los resultados más famosos de Fourier. Esto es especialmente útil para enlazar con la idea de "firmas de frecuencias" que aparece en los enfoques analíticos modernos relacionados con Hardy, Littlewood y la Conjetura de Goldbach. Con \( 30 \) términos la curva comienza a parecerse a una onda cuadrada. Es decir, con infinitos términos se obtiene la onda cuadrada ideal con un error casi cero. Notación Compleja de las Series de Fourier Para convertir las series de Fourier de su forma trigonométrica a su forma exponencial (o compleja), utilizamos la fórmula de Euler, que define las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejas: $$ \large{ \left. \begin{array}{l} \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\ \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{array} \right\} \quad[4] } $$ $$\implies$$ $$ \bbox[8px,border:1px solid #c0c0c0] {\large{e}^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)} \qquad\quad \bbox[8px,border:1px solid #c0c0c0]{\large{e}^{-i\theta}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)} $$ Al sustituir estas identidades \([4]\) en la serie trigonométrica y agrupar términos, obtenemos una notación compacta de \(f(x)\) en la siguiente expresión: $$ \large{ \left. \begin{array}{l} f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_n\large{e}^{\frac{i n \pi x}{L}}\\ \text{ }\\ \text{donde}\\ \text{ }\\ c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\large{e}^{\frac{i n \pi x}{L}}dx\\ \end{array} \right\} \quad[5] } $$ Estas forma estándar \([5]\) incluye un término constante \(c_n \), que al aplicar la fórmula de Euler por sus equivalentes exponenciales transforma las frecuencias positivas y negativas en una sola suma que va desde \(]-\infty, +\infty[ \). Desde Fourier \( \longrightarrow \) Primos La idea central del método del círculo de Hardy–Littlewood es transformar el problema aditivo de Goldbach en un problema de análisis armónico, utilizando series de Fourier y exponenciales complejas para detectar cuándo un número par \(N \) puede escribirse como suma de dos primos. Aunque este método no ha demostrado completamente la Conjetura Fuerte de Goldbach, sí ha producido las aproximaciones más profundas de la teoría analítica de números y es la base de muchos avances posteriores. La conjetura de Goldbach:
Es decir que, dado un número par \(N \in \mathbb N \), Goldbach sostiene que exiten \((p,q)\) primos tal que: $$ N=p+q $$ Luego, sea \(f(n)\) una función que binaria, tal que $$ f(n)= \begin{cases} 1 & \text{si } n \text{ es primo}\\ 0 & \text{si no} \end{cases} $$ Por ejemplo, sea \(N =30\), entonces Es decir, tabulando la función \(f(x)\) se tiene:
Conjunto de valores de donde se puede extraer las siguientes duplas \((p,q)\) que satisfacen la proposición: $$ 30=7+23\\ 30=11+19\\ 30=13+17 $$ Lo más interesante de esta tabla de tabulaciones para \(N =30\), es que señala que \(f(x)\) es extremadamente irregular. Nótese que los valores de la función son: $$ 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 $$ De ahí entonces, aparece la idea de Hardy y Littlewood puesto que puede interpretarse como una señal digital y estudiarse la irregularidad mediante Fourier. Si se escriben los números primos \(\mathbb P_{30}= \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}\) muestran a primera vista una distribuición sin orden y tampoco con una periodicidad evidente. Sin embargo, desde inicios de la historia se intuye que existe una estructura global5. En la búsqueda de esa estructura o patrones de comportamiento de los primos, se recurre a la llamada Transformada de Fourier que es una herramienta basada en sus correspondientes serie matemática, con la cual se descompone una señal o función compleja en sus ondas sinusoidales o frecuencias fundamentales, en el intenta de distinguir exactamente todas sus componentes individuales. La idea de Hardy–Littlewood puede sintetizarse así: 
Diagrama Idea Transformada de Fourier de los Primos La transformada se define como: $$ S(\theta) = \sum_{p\le N} e^{2\pi i p\theta} $$ donde: $$ e^{2\pi i p\theta} = \cos(2\pi p\theta) + i\sin(2\pi p\theta) $$ Cada primo se comporta como una pequeña onda. La suma total genera una especie de: "firma de frecuencias" o espectros que indiquen cómo se distribuyen y agrupan los números primos, de modo que se representa cada primo \( p \in \mathbb P \) como una onda compleja $$ \large{e}^{ip\theta} $$ Luego, se asume que todas las ondas correspondientes a los primos menores o iguales que un límite, en este ejemplo \(N =30\), i.e. la suma $$ S(\theta)=\sum_{p \le N}\large{e}^{ip\theta} $$ Esta expresión, es precisamente una versión simplificada de la función exponencial utilizada en el método del círculo. Cuántas duplas \((p,q)\) satisfacen la proposición $$ N=p+q $$ Hardy y Littlewood demostraron que esto puede escribirse como: $$ R(N) = \int_0^1 S(\theta)^2 e^{-2\pi iN\theta} d\theta $$ Dado que: $$ S(\theta)^2 $$ genera automáticamente todas las sumas posibles \(p+q\) entre primos. En efecto, al elevar \(S(\theta)\)al cuadrado, aparecen codificadas todas las sumas posibles. Es decir, cada representación de Goldbach genera una frecuencia distinta: $$ e^{2\pi i(p+q)\theta}. $$ Ejemplos Aplicando la Fórmula R(N)
|
