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Ecuación Diferencial
Plano Tangente de ${Sl_2}$
Grupo Lineal Especial
Generadores del Algebra de Lie


José Enrique González Cornejo
Mayo 2024










 Introducción

El artículo aborda el desarrollo de una ecuación diferencial asociada a las matrices generadoras del álgebra de Lie del Grupo Lineal Especial $Sl_2$. En particular, se presenta la ecuación diferencial y se explica cómo esta surge de las condiciones y propiedades del Grupo $Sl_2$.

Se hacen referencias bibliográficas a publicaciones previas que tratan los conceptos necesarios para entender las transformaciones infinitesimales y las relaciones entre el grupo y su álgebra de Lie.

Luego, se proporciona un ejemplo concreto de una ecuación diferencial y se muestra paso a paso cómo se resuelve. La solución de la ecuación diferencial está relacionada con una función continua y diferenciable que describe una rotación en el plano bidimensional. Se utiliza una aproximación geométrica para obtener la solución y se explican los conceptos de grupo de rotación $Sl_2$ y álgebra de Lie asociados a esta solución.

Finalmente, se concluye que la solución de la ecuación diferencial representa un lugar geométrico en el plano o en una superficie suave, dependiendo del contexto, y se menciona la importancia de entender que no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones explícitas en términos de funciones elementales. Se adiciona un problema resuelto $Sl_2$ con un sistema de ecuaciones.



 Enunciado

Se muestra específicamente el desarrollo de una ecuación diferencial que proviene de las matrices generadoras del Algebra de Lie del Grupo Lineal Especial $Sl_2$1.


$$ \varphi'(t) = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[#FFFFE0]{[EC1]} $$

Es decir,

$$ \large{\varphi'(t)\quad\implies \quad \varphi(t)} $$
Bajo las condiciones de existencia, de borde y de región que debe cumplir una ecuación diferencial están en el Grupo Lineal Especial $Sl_2$2.

Se recuerda tener presente la definición de $Sl_2$:


Grupo Lineal Especial en $\mathbb R$3


En las referencias bibliográficas (artículos y videos), se trataron determinados conceptos detalladamente. Conceptos que la teoría de grupos y álgebras de Lie permiten un estudio de estas transformaciones infinitesimales.

Particularmente en el artículo y video de base Ejemplo Sl2 ~ Grupo Lineal Especial y sus Generadores del Algebra de Lie .

En estas publicaciones, se mostró una curva continua y diferenciable $\varphi(t)$ del grupo $Sl_2$ relacionada con su álgebra de Lie. Donde la derivada de la curva en un punto específico proporciona la base para obtener las matrices generadoras del álgebra de Lie.

En otros términos, se asumió una función genérica $\varphi(t)$ que se desliza sobre una superficie suave $Sl_2$, la cual se deriva en un punto evaluado en $t=0$.

Desde ahí se obtiene el plano tangente ${\large{\mathfrak {g}}}$, donde toda matriz en ese plano puede ser expresado como una combinación lineal de los generadores de base $\large{\mathfrak{rg}}=\unicode{123}E,F,H\unicode{125}\equiv \unicode{123}g_1,g_2,g_3\unicode{125}$ del álgebra de Lie $\large{\mathfrak sl(2)}$4.

$$ \large{\mathfrak {rg}}= \Bigg\{ \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{E}}} }^{\large{g_1}} , \overbrace{\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{F}}}}^{\large{g_2}}, \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{H}}}}^{\large{g_3}} \Bigg\} $$
Matrices Generadoras Algebra de Lie de $Sl_2$5.

Este concepto de representación6, constituye una herramienta fundamental en la Teoría de Lie y cuenta con aplicaciones en las más diversas áreas de la matemática y la física.


 Ejemplo Ecuación Diferencial

Se realiza con un ejercicio predeterminado, explicando simples pasos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden7 del tipo requerido para el problema en cuestión.

Posteriormente se desarrollará la solución algebraica y geométrica que proviene del grupo lineal especial $Sl_2$, con sus matrices generadoras del álgebra de Lie asociadas: Sea $\varphi'(t)$, la ecuación diferencial siguiente:

$$ \varphi'(t) = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix}\qquad\quad \bbox[#FFFFE0]{[EC1]} $$

La solución de $[EC1]$ es un grupo que representa una variedad diferenciable que contiene la función genérica $\varphi(t)$ sobre su superficie suave. Esta función $\varphi(t)$ es la primitiva, que dio origen a la ecuación y permite la obtención de sus matrices generadores de un álgebra de Lie, desde su plano tangente sobre un punto. (Específicamente desde el punto neutro de la función $\varphi(0)$)

Nótese que desde esta conformación de grupo $Sl_2 \in GL(\mathbb R^2,\text{·})$8, se define como el conjunto de matrices de $2×2$, cuyas determinantes son igual a uno, este grupo de Lie $Sl_2$, se le asocia un Algebra de Lie $\large{\mathfrak g}$ , mediante una aproximación geométrica.

Geométricamente, la primitiva o solución general $\varphi(t)$ , es una ecuación de una familia de curvas y una solución particular de una de las curvas integrales de la ecuación.

El desarrollo de un ejemplo de resolución de la ecuación diferencial simple de primer orden $\varphi'(t) \in Sl_2(\mathbb R)$, que es la derivada de una función continua y diferenciable.



Superficie Suave o Variedad Diferencial


En efecto, la ecuación diferencial simple que proviene del concepto de un plano tangente a una función continua y diferenciable $\varphi(t)$, que se desplaza por una superficie suave o lisa (variedad diferenciable o "manifold", que es superficie suave tridimensional, como se ilustra en la siguiente figura.).

07/07/2024


$\large{\varphi(t)}$: Curva $C$ sobre Variedad Suave



 Resolución $\varphi'(t)$ [EC1]

Para resolver la ecuación diferencial dada, donde la derivada de la matriz $\varphi'(t)$ está especificada, seguiremos un proceso paso a paso de la solución para resolver esta ecuación diferencial matricial que tenemos rotulada como $[EC1]$:


$$ \varphi'(t) = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix} $$

El objetivo es determinar $\varphi(t)$, tal que su derivada sea igual a la matriz dada. La ecuación diferencial también se expresa como:


$$ \frac{d\varphi(t)}{dt} = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix} $$

Es decir, las entradas de $\varphi'(t)$ son funciones lineales de una variable $t$. Donde la derivada de la matriz $\varphi'(t)$, es la igual a la matriz de cada uno de sus elementos derivados:

$$ \varphi'(t) = \begin{pmatrix} a'(t) & b'(t) \\ c'(t) & d'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix} $$

Así mismo, la integral de $\varphi'$ con respecto a $t$, definida en un intervalo cerrado real $[a,b]$ se denota como $\int \varphi'(t) \phantom{2}dt$ y se expresa como:


$$ \int \varphi'(t)\phantom{2}dt = \begin{pmatrix} \int a'(t)\phantom{2}dt & \int b'(t)\phantom{2}dt\\ \int c'(t)\phantom{2}dt & \int d'(t)\phantom{2}dt \end{pmatrix} $$

Se iguala la derivada $\varphi'(t)$ con la matriz dada $[EC1]$:

$$ \begin{pmatrix} a'(t) & b'(t) \\ c'(t) & d'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin(t) & -\cos(t) \\ \cos(t) & -\sin(t) \end{pmatrix} $$

Integando en ambos miembros, se obtiene:

$$ \begin{pmatrix} \int a'(t)\phantom{2}dt& \int b'(t)\phantom{2}dt \\ \int c'(t)\phantom{2}dt & \int d'(t)\phantom{2}dt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\int \sin(t)\phantom{2}dt & -\int \cos(t)\phantom{2}dt \\ \int \cos(t)\phantom{2}dt & -\int \sin(t)\phantom{2}dt \end{pmatrix} $$

Resulta que cada elemento de la matriz $\varphi'(t)$ será una ecuación diferencial individual a integrar:

$$ a'(t) = -\sin(t) $$
$$ b'(t) = -\cos(t) $$
$$ c'(t)=\phantom{4} \cos(t) $$
$$ d'(t) = -\sin(t)$$


Luego, resolvemos cada una de estas ecuaciones diferenciales por separado. Integrando:

$$ a'(t) = -\sin(t) \implies a(t) = -\int \sin(t)\phantom{2}dt= \cos(t) + c_1, $$

$$ b'(t) = -\cos(t) \implies b(t) = -\int \cos(t)\phantom{2}\phantom{2}dt= -\sin(t) + c_2, $$

$$ c'(t) = \cos(t) \implies c(t) =\int cos(t)\phantom{2}dt= \sin(t) + c_3, $$

$$ d'(t) = -\sin(t) \implies d(t) =-\int sin(t)\phantom{2}dt= \cos(t) + c_4. $$


Donde $c_1,c_2,c_3,c_4$ son una constantes de integración.

Para determinar estas constantes de integración, se usa las condiciones iniciales, sabiendo que $\varphi(0)=\large{I}$, i.e. la matriz identidad:

$$ \varphi(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\large{I} $$

Se evalúan las soluciones en $t = 0$:

$a(0) = \cos(0) + c_1 = 1 + c_1 $

$ b(0) = -\sin(0) + c_2 = 0 + c_2 $

$ c(0) = \sin(0) + c_3 = 0 + c_3 $

$ d(0) = \cos(0) + c_4 = 1 + c_4 $


Se igualan con los valores de la matriz idéntica, de donde $c1=c2=c3=c4=0$:

$$ 1 + c_1 = 1 \implies c_1 = 0 $$
$$ c_2 = 0 $$
$$ c_3 = 0 $$
$$ 1 + c_4 = 1 \implies c_4 = 0 $$


Por lo tanto, las soluciones para $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$ y $d(t)$ son:

$$ a(t) =\phantom{4} \cos(t) $$
$$ b(t) = -\sin(t) $$
$$ c(t) =\phantom{4} \sin(t) $$
$$ d(t) =\phantom{4} \cos(t) $$


Entonces ensamblando los elementos en la matriz $\varphi(t)$ se obtiene la solución la ecuación diferencial $[EC1]$ :

$$ \bbox[white,15px,border:1px solid #c0c0c0]{ \varphi(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}} $$
$$\bbox[#FFFFE0]{[EC2]}$$

Q.E.D.//





Es necesario agregar que $\varphi(t)$, corresponde a un operador de rotación de $2×2$, definido en los reales y corresponde a un Grupo de Lie de rotación ortogonal especial $SO(2)$, i.e. es un operador definido en los reales, - en el espacio euclídeo -, y que es un grupo lineal especial $Sl_2$, pero además ortogonal. Nótese que $SO2 \subset Sl_2$.

Grupo de Lie
Enfoque Geométrico


 Generador Simple desde la Solución $\varphi(t)$

A continuación se observa que la solución $[EC2]$ es un grupo de rotación en $\varphi(t) \in SO(2)$, de donde también se obtiene un generador $X$ simple del Algebra de Lie.

En efecto, geométricamente, el generador $ X $ del grupo de rotación $ SO(2) $ representa la dirección instantánea de la rotación alrededor del origen en el plano bidimensional, y se obtiene tomando la derivada de la función $ \varphi(t) $ con respecto a $ t $, evaluada en $ t = 0 $.





La figura muestra un círculo contenido en $\large {\mathbb {R^2}}$, con un vector longitud $\large{|\vec{v}|=1}$ y ángulo $\large{t}$, donde el punto $\large{q}$ tiene asociada la matriz $\large{\varphi_{2 \times 2}(t)}$, - que es la operador de rotación que constituye un Grupo de Lie en $SO(2)$ -, y la recta tangente en el punto $\large{p}=(1,0)$, - que corresponde al elemento Identidad -. Luego, la recta tangente es un Algebra de Lie $\large{\mathfrak {g}}$ y su generador se señala a continuación:

$$X=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Este generador antisimétrico $X \in SO(2)$, se obtiene del diferencial de la matriz $\varphi_{2 \times 2}(t)$ evaluada en $t = 0$:

$$\frac{d\varphi}{dt}\mid_{t=0}$$
Efectivamente:
$$ \varphi(t)=\begin{pmatrix} cos(t) & -sin(t) \\ sin(t) & cos(t) \\ \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow$$
$$\frac{d\varphi(t)}{dt}=\begin{pmatrix} -sin(t) & -cos(t) \\ cos(t) & -sin(t) \\ \end{pmatrix} $$
$$\Rightarrow$$
$$\frac{d\varphi(t)}{dt}\mid_{t=0}=\begin{pmatrix} -sin(0) & -cos(0) \\ cos(0) & -sin(0) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=X$$

Se observa que la función $ \varphi(t) $ describe la rotación de un vector en el plano bidimensional en función del ángulo $ t $. El generador $ X $ del grupo de rotación $ SO(2) $ representa la dirección instantánea del movimiento en el origen causado por una rotación infinitesimal.

Nótese que el vector unitario $ \mathbf{\vec {v}} $ en el plano bidimensional que inicialmente apunta en la dirección del eje $ x $. A medida que aplicamos la función $ \varphi(t) $, el vector $ \mathbf{\vec{v}} $ rota en algún sentido de las agujas del reloj alrededor del origen.



La dirección de este movimiento se puede visualizar como la dirección en la que el vector $ \mathbf{\vec {v}} $ se mueve cuando $ t $ se incrementa infinitesimalmente alrededor de $ t = 0 $.

En otros términos, $ X $ es el vector tangente a la trayectoria seguida por el vector $ \mathbf{\vec {v}} $ en el origen cuando se realiza una rotación infinitesimal.

(Ver en artículo Algebra de Lie - Definición )


 Conclusión

En conclusión, se dice que la matriz $\varphi(t)$ satisface la ecuación diferencial dada y representa una rotación en el plano.

$$ \overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} -sin(t) & cos(t)\\ -cos(t) & -sin(t)\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{[EC1]}}} }^{\large{\varphi'(t)}} \implies \overbrace{\underbrace{\begin{pmatrix} cos(t) & sin(t)\\ -sin(t) & cos(t)\\ \end{pmatrix}}_{\large{\text{[EC2]}}}}^{\large{\varphi(t)}} $$

Es decir la solución $\varphi(t)_{2\times 2}$ que se muestra en $[EC2]$, además de ser lineal y especial en $Sl_2$, es ortogonal, i.e. $SO(2) \subset Sl_2$.

Por lo tanto, $\varphi(t)\in G$, donde $G$ es el conjunto de todas las matrices de $\varphi_{2\times 2}$ ortogonales que pertenecen al 'Special Ortogonal of order 2' del espacio euclídeo tridimensional con determinante igual la unidad9.


$$ \varphi(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix} $$

$$ G=\unicode{123} \varphi\in SO(2)/Det(\varphi)=1 \land \varphi^{T}=\varphi^{-1}\unicode{125} $$

En otras palabras, en el presente artículo se ilustró un método para resolver la ecuación diferencial $[EC1]$, y así obtener efectivamente la solución $[EC2]$.

Es necesario observar que una ecuación diferencial no necesariamente debe tener solución, y aun así (a veces) es posible encontrar una solución cuando ella existe.

Aunque no siempre es una fórmula explícita, en términos de funciones elementales, que satisfagan la ecuación.

En muchos casos, particularmente en el estudio de ecuaciones no lineales, puede ser que tengamos que conformarnos sólo con obtener aproximaciones de una solución.

En este caso, si existe una solución de la ecuación diferencial. Entonces esa solución, representa un lugar geométrico (puntos conectados por una curva continua) sea en el plano cartesiano o en una superficie suave.






 Problema Resuelto

Dado el grupo de rotaciones en el plano $SO(2)\subset Sl_2$, con el siguiente sistema de ecuaciones:


$$ \large{ \begin{matrix} \overline{x}=\phantom{4}x\cos(t) + y\sin(t)\\ \overline{y}=-x\sin(t) + y\cos(t) \end{matrix} } $$
  • Calcular el generador infinitesimal.
  • Sumar la serie de Lie
  • Integrar el problema de valor inicial.
  • Encontrar las cooordenadas canónicas.
  • Determinar los puntos y las familias de curvas invariantes.


 Respuesta

 Cálculo del generador infinitesimal

El generador infinitesimal de un grupo de Lie se define como la derivada en $ t $ de la matriz de rotación $ R(t) $10 evaluada en $ t = 0 $. En el caso de $SO(2)$, la matriz de rotación es:

$$ R(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) & \sin(t) \\ -\sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix} $$

Entonces, para calcular el generador infinitesimal se deriva $ R(t) $ respecto a $ t $ y se evalúa en $ t = 0 $:


$$ \begin{align*} \frac{dx'}{dt} &= -x \sin(t) + y \cos(t) \\ \frac{dy'}{dt} &= -x \cos(t) - y \sin(t) \end{align*} $$
Por lo tanto, el generador infinitesimal es:

$$ \large{G = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} $$

(Se sabe que $\sin'(t)=-\cos(t)\quad \land \quad \cos'(t)=\sin(t)$, asímismo que $\sin(0)=0,\quad \land \quad \cos(0)=1$)

Esta matriz unitaria y antisimétrica es el generador infinitesimal del grupo $SO(2)$.



 Sumar la serie de Lie

La serie de Lie se puede expresar como:

$$ R(t) = \large{e}^{tG} $$

Donde $ R(t) $ es la matriz de rotación para un ángulo $ t $ y $ G $ es el generador infinitesimal del grupo. Para $SO(2)$:

$$ G = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Entonces la serie de Lie se convierte en:

$$ R(t) = \large{e}^{t \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} $$

Para calcular $ \large{e}^{tG} $, se puede utilizar la expansión en series de Taylor de la función exponencial:

$$ \large{e}^{tG} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(tG)^n}{n!} $$
Sea $A=tG$. Entonces $\large{e}^{tG}=\large{e}^{A}$:

$$ \large{e}^{A}=I + A + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{3!}A^3+ \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}A^k $$

$$R(t)=\large{e}^A=\large{e}^{t G}=\large{e}^{t \small{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}}}$$



 Integrar el problema de valor inicial

El problema de valor inicial implica encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales dadas con una condición inicial. En este caso, las ecuaciones diferenciales son las mismas que definen las rotaciones en $SO(2)$. La condición inicial podría ser $ (x_0, y_0) $, es decir, las coordenadas iniciales del punto que estamos rotando.



 Encontrar las coordenadas canónicas

Las coordenadas canónicas generalmente se refieren a las coordenadas en las que las ecuaciones del problema se escriben de la forma más simple posible. En este caso, las coordenadas canónicas podrían ser las coordenadas polares $ (r, \theta) $, donde $ r $ es la distancia desde el origen y $ \theta $ es el ángulo de rotación.



 Determinar los puntos y las familias de curvas invariantes

Los puntos invariantes son aquellos que no cambian bajo la acción del grupo de rotación $SO(2)$. Estos son simplemente los puntos en el plano que se encuentran en el eje de rotación. Las familias de curvas invariantes son conjuntos de curvas que no cambian de forma bajo la acción de las rotaciones. Por ejemplo, todas las líneas que pasan por el origen son familias de curvas invariantes, ya que se rotan alrededor del origen manteniendo su forma. Es decir, los puntos en la intersección de las líneas $x=0$ y $y=0$, que es el origen $(0,0)$, son invariantes bajo la acción de $SO(2)$.

Ver Articulo Grupo de Lie - Enfoque Exponencial 






 Notas Adjuntas







 Videografía y Bibliografía


Ver Artículos del Autor

Ver Videos DocIRS


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    Algoritmo de Deutsch
    13 octubre 2016
    Felipe Fanchini
    https://www.youtube.com/watch?v=Sb5WRs8XUuU

  • [B38]
    Desarrollo de un simulador para el protocolo
    de criptografía cuántica E91
    en un ambiente distribuido
    Ingeniare. Rev. chil. ing. vol.23 no.2 Arica abr. 2015
    Luis Cáceres Alvarez,
    Roberto Fritis Palacios,
    Patricio Collao Caiconte

  • [B39]
    Effect of an artificial model’s vocal expressiveness
     on affective and cognitive learning
    . Llaima Eliza González Brouwer
    0999377
    MSc. Human Technology Interaction
    Department of Innovation Sciences
    Eindhoven University of Technology
    August 2018

  • [B40]
    Así Cambiará el Mundo la Computación Cuántica
    2016
    Ignacio Cirac
    https://www.youtube.com/watch?v=WJ3r6btgzBM

  • [B41]
    GIPHY
    Imagen de Animación Gif / Partículas
    Explore Partículas Gif

  • [B42]
    MathJax
    MathJax es una biblioteca javascript
    American Mathematical Society.
    Accessible Math in All Browsers


  • [B43]
    El Algoritmo de Deutsch-Jozsa
    KET.G
    25 mar. 2020
    Twitter: https://twitter.com/KetPuntoG


  • [B44]
    Apuntes de Grupos de Lie
    Badajoz, 30 de diciembre de 2017
    Volumen 3
    1.2. Grupos de Lie

  • [B45]
    Teoria de Grupos
    Marshall Hall jr.
    Bibioteca de Matemática Superior
    1967 Maximilian Company, N.Y. USA

  • [B46]
    Tutorial Grupos de Lie
    Javier García
    29 jun. 2017
    Serie de Capítulos ~ España

  • [B47]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    Enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B48]
    La Mecánica Cuántica
    Los grupos de rotación I
    Matrices de Pauli

  • [B49]
    Física Matemática
    Grupos de Lie, rotaciones, unitarios, Poincaré.
    Monte Carlo
    L. L. Salcedo
    Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear
    Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain
    29 de julio de 2020

  • [B50]
    Matrices de Pauli - Pauli matrices Matrices de Pauli
    De Wikipedia, la enciclopedia libre Matrices de Pauli

  • [B51]
    Phisics
    Explore our Questions

  • [B52]
    Entrevista a Jorge Antonio Vargas,
    FAMAF
    Universidad Nacional de Córdoba de Argentina,
    Investigador del Conicet
    20/01/2010, Pagina|12
    ,

  • [B53]
    Introducción a Grupos y Álgebras de Lie de Dimensión Infinita,
    Matthew Dawson,
    CIMAT- Mérida México noviembre de 2020,
    Instituto de Matemáticas de la UNAM

    (Universidad Nacional Autónoma de México)
    ,

  • [B54]
    Lie Groups:Introduction,
    Richard E. BORCHERDS,
    University of California,
    Department of Mathematics, USA
    ,

  • [B55]
    Lie theory for the Roboticist,
    Joan Solà,
    Institut de Robòtica i Informàtica Industrial, en catalán,
    Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC),

     Cataluña
    Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). España

  • [B56]
    A micro Lie theory for state estimation in robotics,
    Joan Solà, Jeremie Deray, Dinesh Atchuthan,
    Diciembre 2021
    arXiv ~ https://arxiv.org,
    Web Accessibility Assistance -arXiv Operational Status

  • [B57]
    Graph Theory,
    Frank Harary,
    1969
    Addison-Wesley
    USA

  • [B58]
    RobotDocIRS,
    José Enrique González Cornejo
    abril 2003
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy


  • [B59]
    Introducción a la Topología Algebraica,
    Williams S. Massey,
    1972
    Editorial Reverté S.A.
    España


  • [B60]
    Lie Algebra Representations
    André Henriques
    Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford
    agosto del 2015.


  • [B61]
    The Lie group $SL(2,C)$ and its Lie algebra $sl(2,C)$
    Dr. Frederic Schuller
    Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
    21 sept 2015


  • Paginas Independientes del autor que Contienen los Capítulos del Documento:

  • Conceptos Matemáticos Básicos de
     Computación Cuántica
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy

  • Algoritmo de Deutsch
    José Enrique González Cornejo
    20 de marzo 2020
    DocIRS Technology
    Math-Computing Open Academy