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Cuadrados Mágicos Impares de $n \times n$
José Enrique
González Cornejo
Indice
 Cuadrado Mágico Impar $5\times 5$ Aplicación del Algoritmo, Haciendo
Introducción
El algoritmo y su aplicación computacional MagicoDocIRS, son un método genérico que permite resolver cuadrados mágicos de cualquier orden impar. En efecto, el usuario sólo ingresa un entero $n$ impar, mayor o igual que tres y el sistema procesa desplegando la matriz con la solución. El algoritmo desarrollado por el autor José Enrique González Cornejo y aplicado en un programa computacional sobre plataforma Internet (Ver aplicación MagicoDocIRS), admite cualquier número natural impar. Sin embargo, dado que un cuadrado de orden $141 \times 141$ significa configurar y publicar en una vista Web de una matriz de $19.881$ celdas, se ha limitado la aplicación, - mediante un listbox para seleccionar el orden-, hasta esa cifra máximo.
Se recomienda al lector comprobar, visualizar e investigar
las relaciones numéricas que conforman cada cuadrado mágico generado por el algoritmo. En efecto, las simetrías que se producen en la resolución de estos cuadrados son numerosas.
 Interfaz de la Aplicación MagicoDocIRS
Un cuadrado mágico impar es una matriz cuadrada $M_{n\times n} (\text{ con } n=2k+1, k \in \mathbb N)$, donde se dispone de una serie de números enteros de forma tal que la suma de los números por cada columna, de cada fila y de cada una de sus diagonales principales tenga el mismo resultado.
Es decir, dado un número impar de la forma $n=2k+1$, con $k \in \mathbb N$, se deben disponer los números del conjunto $A=\unicode{123}1,2,3,4, ...,n^2\unicode{125}$, para rellenar las celdas de la matriz cuadrada $M$ de orden $n \times n$, con la condición $C(x)$, la cual requiere que la sumatoria de filas, columnas y las dos diagonales principales de $M$ sumen la misma invariante $S$. (La suma de números Naturales en un Natural, de modo que $S \in \mathbb N $
Por tanto, el problema está en distribuir los números consecutivos del
$1 \text{ al } n^2$, en las celdas de la matriz $M$ de orden $n \times
n$, de tal manera que la suma $S$ sea la misma (i.e. $S$ es invariante),
en todos los sentidos señalados en la Figura 1.
Algoritmo: Transformación T(x)
$T(x) =\unicode{123} x \text{ / } \href{javascript:Muestra_Mensaje(sPie[150])}{C(x)} \unicode{125}$
 Figura 2 ~ $T:A \longrightarrow M$
Nótese que la distribución de $T: A \longrightarrow M$ es una
correspondencia biunívoca, o uno-a-uno y sobre. Es decir, La
transformación $T$ tiene una inversa $T^{-1}$. En otras palabras, la
relación es biyectiva estableciendo para cada elemento $A$ un único
elemento correspondiente en $M$.
La matriz $M$ bajo las condiciones
$C(x)$ a resolver, está compuesta por $n$ arreglos horizontales
(filas), $n$ arreglos verticales (columnas) y 2 arreglos
diagonales. Es decir, $2(n+1)$ arreglos, donde con cada uno de ellos
se constituye una ecuación cuya suma es $S$. Reiterando que $n$ es
una entero impar mayor o igual que 3 ($n \ge 3$).
Cada matriz $M$ que cumple las condiciones $C(x)$, tiene una determinante diferente de cero (i.e. no singular) y por tanto tiene una matriz inversa $M^{-1}$, tal que $M·M^{-1}=M^{-1}·M = I$, donde $I$ es la matriz Identidad del mismo orden que $M$
Afortunadamente, a lo largo de la historia, se han descubierto
diferentes métodos de resolución sintética, - en este caso el
Rombo Siamés-, que ayudan a simplificar y resolver el cuadrado
mágico por construcción, sin tener que despejar tantas incógnitas.
(Ver analogía con el
Triangulo de Pascal).
Base Algoritmo  Proceso del Algoritmo
La base del algoritmo que sustenta la presente solución es método heurístico llamado Rombo
Siamés.
La matriz buscada $M$ de orden $n \times n$, está inscrita en la matriz ampliada $M^*$.  Figura 5
En los cuadrados mágicos de tamaño impar, todas las relaciones son números enteros positivos.
Puntos claves de $M$
$$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{c=\left(\frac{n^2 + 1}{2}\right)}\qquad\quad[1]$$ Este valor $c$, es directamente deducible de la serie $\unicode{123}1,2,3,4, ...,n^2\unicode{125}$, tomando el primer término sumado al último, dividido por 2. (Ver Sumatoria de Gauss) Por tanto, implica que la suma invariante a lograr en todas las direcciones (cada fila, cada columna y cada diagonal) es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{\sum_{i=1}^n m_{ij}= S=n·c}\qquad\quad[2]$$ Las coordenadas en $M$ de este valor central $c$ son: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{M(ka, ka), \text{ donde } ka=\frac{n +1}{2}}\qquad\quad[3]$$  El vértice superior izquierdo ($vsi$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ p = vsi= 1 + \frac{(n - 1)}{2}} \qquad\quad[4]$$ El vértice superior derecho ($vsd$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vsd = 1 + \frac{(n - 1)}{2}+ \frac{(n - 1)^2}{2}} \qquad\quad[5]$$ El vértice inferior izquierdo ($vii$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vii = vsd+(n-1)} \qquad\quad[6]$$ El vértice inferior derecho ($vid$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vid = vsi+n·(n-1)} \qquad\quad[7]$$
Coordenadas: $M^*\longrightarrow M$
En este caso con $n=5$ se tiene que $p=3$, dado que $p=1 + \frac{(n - 1)}{2}$, luego:
Precisiones vía Ejemplos La siguiente ilustración muestra un paso intermedio para la resolución de una matriz $M$ de orden $7 \times 7$, inscrita en en la matriz ampliada $M^*$ de orden $13 \times 13$, cuyo valor central $c=25$, localizado en $M(4,4)$ y el vértice superior izquierdo es $p=4$
Obsérvese que la serie $\unicode{123}1,2,3,4, ...,49\unicode{125}$, se configura en forma oblicua en modulo $7$ en la matriz ampliada $M^*$, como lo ilustran las flechas rojas de la Figura 6. Una vez configurado el rombo con los números dentro de la matriz ampliada $M^*$, se aplica el algoritmo de traspaso, el cual utiliza como referencia el valor central $c$ y el vértice superior izquierdo $vsi=p$, como así mismo las propiedades simétricas de la matriz. Es decir, ahí se aplica una rutina que permuta los números diferentes de cero $M^*$, - externos a $M$, hacia el interior, teniendo como referencia el vértice superior izquierdo $p$ y el valor central $c$. El algoritmo cuenta con dos funciones: una que opera verticalmente en los "swaping" y la otra horizontalmente. (Ver figura 6 y Figura 8).
En esta construcción,
MagicoDocIRS siempre contempla que la diagonal de pendiente positiva
de la matriz $M$, es una serie consecutiva.
En este algoritmo, el número que ocupa el vértice superior derecho $vsd$ de la matriz $M$, es equivalente a: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{vsd = p + (p-1)·(n-1)}\\\text{Donde }p=vsi$$ Ahora, observemos la sucesión de valores que va adquiriendo el $vsd$, en función de $n$ se ilustra a continuación: 
Estos vértices derechos de los cuadrados $M$ son el valor inicial de
la serie secuencial que se ingresa en la segunda diagonal del cuadrado y su suma
es la invariante $S$:
 Se observa que la serie de $n$ términos de la segunda diagonal (pendiente positiva) es una progresión aritmética de diferencia $1$ , donde $a_{1n}=vsd \land S=n·c$. En el ejemplo de orden $7x7$, se tiene que $vsd=22$ y su segunda diagonal es $\unicode{123}22,23,24,25,26,17,28\unicode{125}$, cuya suma es $S=175$. Así mismo, la diagonal principal es una progresión aritmética de $n=7$ términos, cuya diferencia $d=n=7$, que se inicia en $vsi=4$ y termina en $vid=46$, $\unicode{123}4,11,18,25,32,39,46\unicode{125}$ Dejamos al lector la tarea de continuar encontrando las decenas de relaciones y series que se generan en función de $n$, dentro el cuadrado mágico. (Ejecutar la aplicación MagicoDocIRS para visualizar cuadrados de tamaños diferentes). Ejemplo (Resolver la Matriz de orden $7 x 7$) Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje horizontal. Los valores de las casillas de ambos lados, se posicionan al interior de $M$ aplicando la propiedad de simetría con respecto a los ejes centrales..
En efecto, el ejemplo de la Figura 8, muestra las permutaciones en la columna central, desde los valores externos de $M^*_{13 \times 13}$ hacia las celdas de $M_{7 \times 7}$ con valores ceros. Los pares, -de este ejemplo-, que van ingresando desde $M^*$ exterior, y posicionándose en el interior de la columna central de $M$, son [1 permuta con 49] y [9 permuta con 41], la primera coordenada del par ordenado es la externa superior a $M$ y la segunda coordenada es la externa inferior. Nótese que los valores superiores se desplazan hacia abajo del eje central horizontal y los valores inferiores hacia arriba del eje central de M.
Permutación de Coordenadas de $M^*\longrightarrow M$
 Resultante Algoritmo: Matriz de orden $7 x 7$
Función
Javascript: Permuta Valores Verticales
Otra solución $7
x 7$: Cuadrado Mágico de la Ermita "Virgen del Calvario"
 Cuadrado Mágico 7x7 en Zurgena, Almería. Ermita Virgen del Calvario
Se trata de una solución muy particular y específica, sin algoritmo genérico conocido, demuestra que existen otros procedimeientos con otras distribuciones que cumplen con las
condiciones de un cuadrado mágico impar. Por ejemplo, en el caso
de $7 x 7$, está el cuadrado mágico de la Ermita "Virgen del
Calvario" (ver figura 10), la cual presenta otra
distribución de los números {$1,2,3,...,49$} diferentes a la
matriz de la figura 9 generada por la transformacion $T$. Estas
soluciones sólo coinciden en el número central $c=25$
 Figura 10 Ejemplo Paso a Paso con $n=3$ con Algorimo DocIRS
Síntesis
La solución algebraica también puede simplificarse con algunas de
las propiedades que se pueden extraer a primera vista del Rombo
Siamés.
Figura 3
i) La diagonal principal de la matriz $M$ que parte
del vértice superior izquierdo hacia el vértice inferior
derecho (i.e la diagonal de pendiente negativa), es un
vector o arreglo de $n$ términos que responden a una progresión
aritmética, cuya diferencia es $n$ (i.e. la diferencia
constante es la misma que el orden del cuadrado) y que suman $S$
que es la traza de magnitud invariante de $M$. El valor $p$ de
este vértice
vsi es $p = 1 + \frac{(n - 1)}{2}$. Reiterando que $n$ es una entero impar mayor o igual que 3.(Ver expresión [4]).
ii) La diagonal de la matriz $M$ que parte del vértice superior derecho hacia el vértice inferior izquierdo (i.e la diagonal de pendiente negativa), es un arreglo de números consecutivos que suman $S$. El valor de este vértice superior derecho es $vsd = p + (p-1)·(n-1)$ (Ver expresión [5]) iii) La intersección de las diagonales es el número central de la matriz. Es decir, queda localizado en el centro del cuadrado de orden impar. Este número central $c$ es clave para la solución del problema.(Ver expresión [1])) Con la propiedades concluidas del Rombo Siamés se reduce el sistema de ecuaciones considerablemente a la siguiente operación matricial: 
Donde los valores de la matriz marcados con un circulo rojo y el
valor invariante $S$ del vector resultante, están previamente
determinados. Además, el Rombo Siamés señala claramente las
permutaciones a realizar desde una matriz ampliada, donde se
inscribe $M$.
La selección de número impar del listbox en el previo simmulador está limitado a un máximo de $n=21$ por razones de espacio en la ventana donde se despliegan los resultados.
Los cuadrados mágicos se estudian desde hace 3 milenios antes de Cristo en China. Posteriormente en otras regiones de Asia, India, Egipto y Grecia. En Europa fue publicado en Francia en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces Método Siamés, dado que él lo aprendió en esas tierras. (Ver Cuadrados Mágicos Wikipedia)
Existen decenas de evidencias que estas estructuras numéricas de orden
menor ya se conocían a lo largo de la historia y muchos fueron los
que intentaron resolver este rompecabezas matemático.
Para finalizar, ilustramos a continuación un cuadro resuelto de orden 17
x 17, realizado por la aplicación
MagicoDocIRS e Invitamos a los lectores a continuar
encontrando la múltiples relaciones en función de $n$, que se presentan
en estas estructuras numéricas mágicas, mediante el programa
MagicoDocIRS.
Ejemplo Resuelto (Matriz de orden 17 x 17)
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