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Cuadrados Mágicos Impares de $n \times n$
José Enrique
González Cornejo
Indice
![]() ![]()
![]() Cuadrado Mágico Impar $5\times 5$ Aplicación del Algoritmo, Haciendo
Introducción
El algoritmo y su aplicación computacional MagicoDocIRS, son un método genérico que permite resolver cuadrados mágicos de cualquier orden impar. En efecto, el usuario sólo ingresa un entero $n$ impar, mayor o igual que tres y el sistema procesa desplegando la matriz con la solución. El algoritmo desarrollado por el autor José Enrique González Cornejo y aplicado en un programa computacional sobre plataforma Internet (Ver aplicación MagicoDocIRS), admite cualquier número natural impar. Sin embargo, dado que un cuadrado de orden $141 \times 141$ significa configurar y publicar en una vista Web de una matriz de $19.881$ celdas, se ha limitado la aplicación, - mediante un listbox para seleccionar el orden-, hasta esa cifra máximo.
Se recomienda al lector comprobar, visualizar e investigar
las relaciones numéricas que conforman cada cuadrado mágico generado por el algoritmo. En efecto, las simetrías que se producen en la resolución de estos cuadrados son numerosas.
![]() Transferencia de Herramientas Análogas
En otros términos, el método induce a la comprensión de los principios del método que son una lección para otros dilemas y ciencias, porque combinan lo abstracto con lo concreto.
![]() Interfaz de la Aplicación MagicoDocIRS
Un cuadrado mágico impar es una matriz cuadrada $M_{n\times n} (\text{ con } n=2k+1, k \in \mathbb N)$, donde se dispone de una serie de números enteros de forma tal que la suma de los números por cada columna, de cada fila y de cada una de sus diagonales principales tenga el mismo resultado.
Es decir, dado un número impar de la forma $n=2k+1$, con $k \in \mathbb N$, se deben disponer los números del conjunto $A=\unicode{123}1,2,3,4, ...,n^2\unicode{125}$, para rellenar las celdas de la matriz cuadrada $M$ de orden $n \times n$, con la condición $C(x)$, la cual requiere que la sumatoria de filas, columnas y las dos diagonales principales de $M$ sumen la misma invariante $S$. (La suma de números Naturales en un Natural, de modo que $S \in \mathbb N $
Por tanto, el problema está en distribuir los números consecutivos del
$1 \text{ al } n^2$, en las celdas de la matriz $M$ de orden $n \times
n$, de tal manera que la suma $S$ sea la misma (i.e. $S$ es invariante),
en todos los sentidos señalados en la Figura 1.
Algoritmo: Transformación T(x)
$T(x) =\unicode{123} x \text{ / } \href{javascript:Muestra_Mensaje(sPie[150])}{C(x)} \unicode{125}$
![]() Figura 2 ~ $T:A \longrightarrow M$
Nótese que la distribución de $T: A \longrightarrow M$ es una
correspondencia biunívoca, o uno-a-uno y sobre. Es decir, La
transformación $T$ tiene una inversa $T^{-1}$. En otras palabras, la
relación es biyectiva estableciendo para cada elemento $A$ un único
elemento correspondiente en $M$.
![]() Transformacion de $T:A \longrightarrow M$, vice-versa
La matriz $M$ bajo las condiciones
$C(x)$ a resolver, está compuesta por $n$ arreglos horizontales
(filas), $n$ arreglos verticales (columnas) y 2 arreglos
diagonales. Es decir, $2(n+1)$ arreglos, donde con cada uno de ellos
se constituye una ecuación cuya suma es $S$. Reiterando que $n$ es
una entero impar mayor o igual que 3 ($n \ge 3$).
Cada matriz $M$ que cumple las condiciones $C(x)$, tiene una determinante diferente de cero (i.e. no singular) y por tanto tiene una matriz inversa $M^{-1}$, tal que $M·M^{-1}=M^{-1}·M = I$, donde $I$ es la matriz Identidad del mismo orden que $M$
Afortunadamente, a lo largo de la historia, se han descubierto
diferentes métodos de resolución sintética, - en este caso el
Rombo Siamés-, que ayudan a simplificar y resolver el cuadrado
mágico por construcción, sin tener que despejar tantas incógnitas.
(Ver analogía con el
Triangulo de Pascal).
Base Algoritmo ![]() Proceso del Algoritmo
La base del algoritmo que sustenta la presente solución es método heurístico llamado Rombo
Siamés.
![]()
La matriz buscada $M$ de orden $n \times n$, está inscrita en la matriz ampliada $M^*$. ![]() Figura 5
En los cuadrados mágicos de tamaño impar, todas las relaciones son números enteros positivos.
Puntos claves de $M$
$$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{c=\left(\frac{n^2 + 1}{2}\right)}\qquad\quad[1]$$ Este valor $c$, es directamente deducible de la serie $\unicode{123}1,2,3,4, ...,n^2\unicode{125}$, tomando el primer término sumado al último, dividido por 2. (Ver Sumatoria de Gauss) Por tanto, implica que la suma invariante a lograr en todas las direcciones (cada fila, cada columna y cada diagonal) es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{\sum_{i=1}^n m_{ij}= S=n·c}\qquad\quad[2]$$ Las coordenadas en $M$ de este valor central $c$ son: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{M(ka, ka), \text{ donde } ka=\frac{n +1}{2}}\qquad\quad[3]$$ ![]() El vértice superior izquierdo ($vsi$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ p = vsi= 1 + \frac{(n - 1)}{2}} \qquad\quad[4]$$ El vértice superior derecho ($vsd$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vsd = 1 + \frac{(n - 1)}{2}+ \frac{(n - 1)^2}{2}} \qquad\quad[5]$$ El vértice inferior izquierdo ($vii$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vii = vsd+(n-1)} \qquad\quad[6]$$ El vértice inferior derecho ($vid$) de la matriz $M$ es: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{ vid = vsi+n·(n-1)} \qquad\quad[7]$$
Coordenadas: $M^*\longrightarrow M$
En este caso con $n=5$ se tiene que $p=3$, dado que $p=1 + \frac{(n - 1)}{2}$, luego:
Precisiones vía Ejemplos La siguiente ilustración muestra un paso intermedio para la resolución de una matriz $M$ de orden $7 \times 7$, inscrita en en la matriz ampliada $M^*$ de orden $13 \times 13$, cuyo valor central $c=25$, localizado en $M(4,4)$ y el vértice superior izquierdo es $p=4$
Obsérvese que la serie $\unicode{123}1,2,3,4, ...,49\unicode{125}$, se configura en forma oblicua en modulo $7$ en la matriz ampliada $M^*$, como lo ilustran las flechas rojas de la Figura 6. Una vez configurado el rombo con los números dentro de la matriz ampliada $M^*$, se aplica el algoritmo de traspaso, el cual utiliza como referencia el valor central $c$ y el vértice superior izquierdo $vsi=p$, como así mismo las propiedades simétricas de la matriz. Es decir, ahí se aplica una rutina que permuta los números diferentes de cero $M^*$, - externos a $M$, hacia el interior, teniendo como referencia el vértice superior izquierdo $p$ y el valor central $c$. El algoritmo cuenta con dos funciones: una que opera verticalmente en los "swaping" y la otra horizontalmente. (Ver figura 6 y Figura 8).
En esta construcción,
MagicoDocIRS siempre contempla que la diagonal de pendiente positiva
de la matriz $M$, es una serie consecutiva.
En este algoritmo, el número que ocupa el vértice superior derecho $vsd$ de la matriz $M$, es equivalente a: $$\bbox[white,16px,border:1px solid black]{vsd = p + (p-1)·(n-1)}\\\text{Donde }p=vsi$$ Ahora, observemos la sucesión de valores que va adquiriendo el $vsd$, en función de $n$ se ilustra a continuación: ![]()
Estos vértices derechos de los cuadrados $M$ son el valor inicial de
la serie secuencial que se ingresa en la segunda diagonal del cuadrado y su suma
es la invariante $S$:
![]() Se observa que la serie de $n$ términos de la segunda diagonal (pendiente positiva) es una progresión aritmética de diferencia $1$ , donde $a_{1n}=vsd \land S=n·c$. En el ejemplo de orden $7x7$, se tiene que $vsd=22$ y su segunda diagonal es $\unicode{123}22,23,24,25,26,17,28\unicode{125}$, cuya suma es $S=175$. Así mismo, la diagonal principal es una progresión aritmética de $n=7$ términos, cuya diferencia $d=n=7$, que se inicia en $vsi=4$ y termina en $vid=46$, $\unicode{123}4,11,18,25,32,39,46\unicode{125}$ Dejamos al lector la tarea de continuar encontrando las decenas de relaciones y series que se generan en función de $n$, dentro el cuadrado mágico. (Ejecutar la aplicación MagicoDocIRS para visualizar cuadrados de tamaños diferentes). Ejemplo (Resolver la Matriz de orden $7 x 7$) Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje horizontal. Los valores de las casillas de ambos lados, se posicionan al interior de $M$ aplicando la propiedad de simetría con respecto a los ejes centrales.. ![]() Figura 8 En efecto, el ejemplo de la Figura 8, muestra las permutaciones en la columna central, desde los valores externos de $M^*_{13 \times 13}$ hacia las celdas de $M_{7 \times 7}$ con valores ceros. Los pares, -de este ejemplo-, que van ingresando desde $M^*$ exterior, y posicionándose en el interior de la columna central de $M$, son [1 permuta con 49] y [9 permuta con 41], la primera coordenada del par ordenado es la externa superior a $M$ y la segunda coordenada es la externa inferior. Nótese que los valores superiores se desplazan hacia abajo del eje central horizontal y los valores inferiores hacia arriba del eje central de M.
Permutación de Coordenadas de $M^*\longrightarrow M$
![]() Resultante Algoritmo: Matriz de orden $7 x 7$
Función
Javascript: Permuta Valores Verticales
Otra solución $7
x 7$: Cuadrado Mágico de la Ermita "Virgen del Calvario"
![]() Cuadrado Mágico 7x7 en Zurgena, Almería. Ermita Virgen del Calvario
Se trata de una solución muy particular y específica, sin algoritmo genérico conocido, demuestra que existen otros procedimeientos con otras distribuciones que cumplen con las
condiciones de un cuadrado mágico impar. Por ejemplo, en el caso
de $7 x 7$, está el cuadrado mágico de la Ermita "Virgen del
Calvario" (ver figura 10), la cual presenta otra
distribución de los números {$1,2,3,...,49$} diferentes a la
matriz de la figura 9 generada por la transformacion $T$. Estas
soluciones sólo coinciden en el número central $c=25$
![]() Figura 10 Ejemplo Paso a Paso con $n=3$ con Algorimo DocIRS
Síntesis
La solución algebraica también puede simplificarse con algunas de
las propiedades que se pueden extraer a primera vista del Rombo
Siamés.
![]()
i) La diagonal principal de la matriz $M$ que parte
del vértice superior izquierdo hacia el vértice inferior
derecho (i.e la diagonal de pendiente negativa), es un
vector o arreglo de $n$ términos que responden a una progresión
aritmética, cuya diferencia es $n$ (i.e. la diferencia
constante es la misma que el orden del cuadrado) y que suman $S$
que es la traza de magnitud invariante de $M$. El valor $p$ de
este vértice
vsi es $p = 1 + \frac{(n - 1)}{2}$. Reiterando que $n$ es una entero impar mayor o igual que 3.(Ver expresión [4]).
ii) La diagonal de la matriz $M$ que parte del vértice superior derecho hacia el vértice inferior izquierdo (i.e la diagonal de pendiente negativa), es un arreglo de números consecutivos que suman $S$. El valor de este vértice superior derecho es $vsd = p + (p-1)·(n-1)$ (Ver expresión [5]) iii) La intersección de las diagonales es el número central de la matriz. Es decir, queda localizado en el centro del cuadrado de orden impar. Este número central $c$ es clave para la solución del problema.(Ver expresión [1])) Con la propiedades concluidas del Rombo Siamés se reduce el sistema de ecuaciones considerablemente a la siguiente operación matricial: ![]()
Donde los valores de la matriz marcados con un circulo rojo y el
valor invariante $S$ del vector resultante, están previamente
determinados. Además, el Rombo Siamés señala claramente las
permutaciones a realizar desde una matriz ampliada, donde se
inscribe $M$.
La selección de número impar del listbox en el previo simmulador está limitado a un máximo de $n=21$ por razones de espacio en la ventana donde se despliegan los resultados.
Los cuadrados mágicos se estudian desde hace 3 milenios antes de Cristo en China. Posteriormente en otras regiones de Asia, India, Egipto y Grecia. En Europa fue publicado en Francia en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces Método Siamés, dado que él lo aprendió en esas tierras. (Ver Cuadrados Mágicos Wikipedia)
Existen decenas de evidencias que estas estructuras numéricas de orden
menor ya se conocían a lo largo de la historia y muchos fueron los
que intentaron resolver este rompecabezas matemático.
Para finalizar, ilustramos a continuación un cuadro resuelto de orden 17
x 17, realizado por la aplicación
MagicoDocIRS e Invitamos a los lectores a continuar
encontrando la múltiples relaciones en función de $n$, que se presentan
en estas estructuras numéricas mágicas, mediante el programa
MagicoDocIRS.
Ejemplo Resuelto (Matriz de orden 17 x 17)
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DocIRS © 1988- |