El principito estaba sorprendido. Aquel planeta era tan pequeño que no se explicaba sobre quién podría reinar aquel rey.

El Principito
Antoine de Saint-Exupéry

Sustentación del Modelo
 Complemento de Conceptos Matemáticos

Distancia de un Punto a una Recta
 

José Enrique González Cornejo
Enero del 2012

Demostración de la formula [1a] utilizada en Sustentación del Modelo Complemento de Conceptos Matemáticos, para los Mínimos Cuadrados.

 

Demostraremos en el plano cartesiano, con un enfoque geométrico, que dados un punto P(xi,yi) y  la ecuación de la recta y = mx +b , la distancia di más corta del punto a la recta es:

 

 

Es decir, di es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

 

 

 

En efecto, proyectemos algunas líneas hacia los ejes y  rotulemos los puntos y ángulos necesarios, tal como se ilustra en la figura siguiente. Desde ahí, veremos que la hipotenusa del triangulo superior se puede expresar en función de los datos dados en el enunciado. Es decir, si obtenemos el sen(ß) podemos calcular directamente di

 

 

Luego, dada la pendiente m  de la recta, sabemos que la pendiente  es:

 

m = tan(a)

=>

   

(Recordar que la tangente es igual al cateto opuesto dividido por el adyacente en un triangulo rectángulo)

 

Es decir, la distancia CB = m·k, dado que el cateto opuesto a b en el triangulo rectángulo ABC es k.

   

(Recordar que el seno es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa en un triangulo rectángulo)

 

Dado que di es el cateto opuesto a b en el triangulo superior, tenemos que

 

di = |yi - (mxi + b)|· sen(b)

 

Sustituyendo sen(b)  , obtenemos la expresión

 

Que es equivalente a lo que deseamos desmostrar.

 

 

QED

 

 


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