Solución Matemática y Aplicación del Algoritmo 
Cuadrados Mágicos Impares de n x n

José Enrique González Cornejo
15 de marzo 2015

Introducción

La presente publicación es para describir matemáticamente el algoritmo que resuelve los cuadrados mágicos impares de orden mayor. Así mismo, ofrecer una interfaz computacional que genera en línea la resultante en función del parámetro seleccionado por el usuario.

El algoritmo y a su aplicación computacional MagicoDocIRS, son un método genérico que permite resolver cuadrados mágicos de cualquier orden impar. En efecto, el usuario sólo ingresa un entero n impar, mayor o igual que tres y el sistema procesa desplegando la matriz con la solución.

El algoritmo desarrollado por el autor y aplicado en un programa computacional sobre plataforma Internet (Ver aplicación MagicoDocIRS), admite cualquier numero natural impar. Sin embargo, dado que un cuadrado  de orden 141 x 141 significa configurar y publicar en una vista  Web de una matriz de 19.881  celdas, se ha limitado la aplicación, - mediante un listbox para seleccionar el orden-, hasta esa cifra máximo. 

La aplicación MagicoDocIRS admite exportar a una planilla Excel la matriz resultante, a fin de que lector pueda comprobar,  visualizar e investigar las relaciones numéricas que conforman el cuadrado mágico generado.

Interfaz de la Aplicación MagicoDocIRS

Definición y Enunciado

Un cuadrado mágico impar es una matriz cuadrada M, donde se dispone de una serie de números enteros de forma tal que la suma de los números por cada columna, por cada fila y por cada una de sus diagonales principales tenga el mismo resultado.

Figura 1

Es decir, dado un numero impar de la forma n=2k+1, con kN,  se deben disponer los números del conjunto A= {1,2,3,4, ...,n²}, para rellenar las celdas de la matriz cuadrada M de orden n x n, con la condición C(x), la cual requiere que la sumatoria de filas, columnas y  las dos diagonales principales de M sumen la  misma constante S. (La suma de números Naturales en un Natural, de modo que SN)

Por tanto, el problema está en distribuir los números  del 1 al n², en las celdas de la matriz M de orden n x n, de tal manera que la suma S sea la misma (i.e. S es invariante), en todos los sentidos señalados en la Figura 1.

Algoritmo: Transformación T(x)

El algoritmo MagicoDocIRS es una Transformación T que toma los n² elementos de A y los ordena en una matriz cuadrada M que cumple con la condición C(x).

T(x) = { x A / C(x) }

Figura 2

La matriz M bajo las condiciones C(x) a resolver, está compuesta por n arreglos horizontales (filas), n arreglos verticales (columnas)  y 2 arreglos diagonales. Es decir, 2(n+1) arreglos, donde con cada uno de ellos se constituye una ecuación cuya suma es S. Reiterando que n es una entero impar mayor o igual que 3.

Por tanto, desde el punto de vista algebraico se debe resolver un sistema de 2(n+1) ecuaciones lineales. Nótese que cada arreglo o vector es un conjunto de n elementos de la forma  m(i)={a_i1,a_i2,a_i3,...,a_in} o m(j)={a_1j,a_2j,a_3j,...,a_nj}, donde cada a_ijN / a_ij<=n², con i,j=1,2,...n. Esto implica también que la solución de los Cuadrados Mágicos,  puede ser tratada como subespacio vectorial.

Nótese que cada matriz M que cumple la condiciones C(x), tiene una determinante diferente de cero (i.e. no singular) y por tanto una matriz inversa M^-1, tal que M·M^-1=M^-1·M = I, donde I es la matriz Identidad del mismo orden que M

Afortunadamente, a lo largo de la historia, se han descubierto diferentes métodos de resolución sintética, -  en este caso el Rombo Siamés-, que ayudan a simplificar y resolver el cuadrado mágico por construcción, sin tener que despejar tantas incógnitas. (Ver analogía con el Triangulo de Pascal). Es decir, evitando aplicar un algoritmo computacional de resolución de carácter "carretero" o de múltiples operaciones sistemáticas para realizar el cálculo y determinar una solución.

Base Algoritmo

La base del algoritmo que sustenta la presente solución es el rombo, el cual se representa en una matriz cuadrada ampliada M* de orden (2n+1) x (2n+1) de números enteros , donde  se localizan los números del 1 al n² secuencialmente en forma oblicua en modulo n. Reiterando que n es una entero impar mayor o igual que 3. (Ver Figuras 5 y 6).   A las celdas vacías se les asigna el valor cero.

La matriz buscada M de orden n x n, está inscrita en la matriz ampliada M*.

Figura 5

En los cuadrados mágicos de tamaño  impar,  todas las relaciones son números enteros positivos. El numero localizado exactamente en el centro, es fundamental para resolver el problema de la distribución. El valor del numero central de la ambas matrices es:

Este valor c, es directamente deducible de la serie {1,2,3,4, ...,n²}, tomando el primer término sumado al último, dividido por 2. (Ver Sumatoria de Gauss)

Por tanto, implica que la suma constante a lograr en todas las direcciones es:

Las coordenadas en M de este valor central c son:

El vértice superior izquierdo (vsi) de la matriz M es:

y las coordenadas de p en M*, coinciden m*(p,p)=p.

Precisiones vía Ejemplos

La siguiente ilustración muestra un paso intermedio para la resolución de una matriz M de orden 7 x 7, inscrita en en la matriz ampliada M* de orden 13 x 13, cuyo valor central c=25, localizado en en m(4,4) y el vértice superior izquierdo es p=4

Figura 6

Nótese que los la serie {1,2,3,4, ...,49}, se configura en forma oblicua en modulo 7 en la matriz ampliada M*, como lo ilustran las flechas rojas de la Figura 6.  Una vez configurada la matriz ampliada M*, se aplica el algoritmo de traspaso, el cual  utiliza como  referencia  el valor central c  y  el  vértice superior izquierdo p, como así mismo las propiedades simétricas de la matriz.

Es decir,  ahí se aplica una rutina que permuta los números diferentes de cero M*, - externos a M-, hacia el interior, teniendo como referencia el vértice superior izquierdo p  y el valor central c. El algoritmo cuenta con dos funciones: una que opera verticalmente en los "swaping" y la otra horizontalmente. (Ver figura 6 y Figura 8).

Figura 7

Nótese que en esta construcción, MagicoDocIRS siempre contempla que la diagonal de pendiente positiva de la matriz M, es una serie consecutiva. Es decir, los números del vértice superior derecho  hasta el vértice inferior izquierdo, son n números consecutivos.  En el ejemplo de la Figura 6, la diagonal de pendiente positiva es la serie {22,23,24,25,26,27,28}, cuya suma S=175. (Donde  S=7·25  ,  Ver expresión [2])

Nótese que en este algoritmo, el numero que ocupa el vértice superior derecho vsd de la matriz M,  es:

Es decir, que si se sustituye el valor de p  de  [4], en la expresión [5], se obtiene:

En el ejemplo  de orden 7x7, se tiene que  vsd=22.

Dejamos al lector la tarea de continuar encontrando las decenas de relaciones y series (más bien progresiones) que se generan  en función de n, dentro el cuadrado mágico. (Ejecutar la aplicación MagicoDocIRS para visualizar cuadrados de tamaños diferentes).

Ejemplo (Resolver la Matriz de orden 7 x 7)

Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje horizontal. Los valores de las casillas de ambos lados ,  se posicionan  al interior de M aplicando la propiedad de simetría con respecto a los ejes centrales..

Figura 8
 

En efecto, el ejemplo de la Figura 8, muestra las permutaciones en la columna central, desde los valores externos a M hacia las celdas con valores ceros de M. Los pares, -de este ejemplo-, que van ingresando desde M* exterior,  y posicionándose en el interior de la columna central de M, son (1,49) y (9,41), la primera coordenada del par ordenado es la externa superior a M y la segunda coordenada es la externa inferior.

Nótese que los valores superiores se desplazan hacia abajo del eje central horizontal y los valores inferiores hacia arriba del eje central de M.

Téngase en cuenta que las coordenadas de M* y M se referencian matricialmente en forma independiente.

Ejemplo Paso a Paso con n=3

1.- Se configura Matriz Ampliada M* de 5 x 5, localizando los números del 1 al 9 en forma oblicua en modulo 3.
2.- Se distingue la matriz M de orden 3 x 3, - marcada de amarillo-, inscrita en M*. Cuyas referencias para el algoritmo son el valor p=2  (Ver [4]) y el valor central c=5 (Ver [1]).
3.- Se aplica permutación externa vertical con el par (1,9) Nota: El numero de pares a permutar va aumentando según el orden de la matriz.
4.- Se aplica Permutación externa horizontal con el par (3,7)
5.- Terminada las Permutaciones de M* hacia M y vaciado el rombo
6.- Se despeja la la Matriz M Resultante (cuya sumas S=15 (Ver [2]), en filas, columnas, diagonales)

Síntesis

Los cuadrados mágicos,  no tienen aplicación técnica conocida, pero cualquier matemático siempre quiere resolver y curiosear. El modelo aquí presentado no utiliza ningún recurso aleatorio.

La solución algebraica también puede simplificarse con algunas de las propiedades que se pueden extraer a primera vista del Rombo Siamés. En efecto, este ordenamiento ofrece una serie de relaciones numéricas que se deducen en forma directa, las cuales reducen en forma significativa el sistema de ecuaciones lineales sobre Z, que es necesario estructurar cuando se plantea el problema bajo este enfoque. Por ejemplo:

i)  La diagonal principal de la matriz M  que parte del vértice superior izquierdo  hacia el vértice inferior derecho  (i.e la diagonal de pendiente positiva), es un vector o arreglo de n términos que responden a una progresión aritmética, cuya  diferencia es n (i.e. la diferencia constante es la misma que el orden del cuadrado) y que suman S que es la traza de magnitud invariante de M. El valor p de este vértice vsi es p = 1 + (n - 1) / 2,  Reiterando que n es una entero impar mayor o igual que 3.(Ver expresión [4]). Es decir, el arreglo de la forma {p, p+n, p+2n,....,p+n(n - 1)} constituye la diagonal principal de M

ii) La diagonal de la matriz M  que parte del vértice superior derecho hacia el vértice inferior izquierdo (i.e la diagonal de pendiente negativa), es un arreglo de números consecutivos que suman S. El valor de este vértice superior derecho es vsd = p + (p-1)·(n-1) (Ver expresión [5] y [6])

iii) La intersección de las diagonales es el numero central de la matriz. Es decir, queda localizado en el centro del cuadrado de orden impar. Este numero central c es clave para la solución del problema.(Ver expresión [1]))

Con la propiedades concluidas del Rombo Siamés se reduce el sistema de ecuaciones considerablemente a la siguiente operación matricial:

Donde los valores de la matriz marcados con un circulo rojo y el valor invariante S del vector resultante, están previamente determinados. Además, el Rombo Siamés señala claramente las permutaciones a realizar desde una matriz ampliada, donde se inscribe M.

Orígenes Históricos

Los cuadrados mágicos se estudian desde hace 3 milenios antes de Cristo en China. Posteriormente en  otras regiones de Asia, India, Egipto y Grecia. En Europa  fue publicado en Francia en 1691 por Simón de la Loubere, llamado a veces Método Siamés, dado que él lo aprendió en esas tierras. (Ver Cuadrados Mágicos Wikipedia)

Existen decenas de evidencias que estas estructuras numéricas de orden menor ya se conocían a  lo largo de la historia y muchos fueron los que intentaron resolver este rompecabezas matemático. Fue en el Renacimiento cuando se resolvió, - en forma heurística-,  el problema de orden mayor,  por diversos matemáticos (Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,...), pero siempre inspirados y copiando  las construcciones antiguas del cuadrado mágico  proveniente del oriente.  

Para finalizar, ilustramos a continuación un cuadro resuelto de orden 17 x 17, realizado por la aplicación MagicoDocIRS e  Invitamos a los lectores a continuar encontrando la múltiples relaciones en función de n, que se presentan en estas estructuras numéricas mágicas, mediante el programa MagicoDocIRS.

Ejemplo Resuelto (Matriz de orden 17 x 17)