A mis alumnos de la universidad, entre 1982 y 1985 en  Bogotá Colombia

JEGC

Ejercicio de Cálculo

Bogotá Colombia/1982~ Universidad Jorge Tadeo Lozano

José Enrique González Cornejo

 

 

Análisis de una función logarítmica asintótica en los Reales

Forma

Introducción

Se describe un ejercicio representativo del cálculo infinitesimal, analizando las propiedades básicas de una función en una variable. Se utiliza la función logaritmo natural, cuyo argumento se indefine en un intervalo de los Reales.

A este fin, se realiza una composición de funciones f[g (x)]. Tomando la función g(x),  - también en los Reales-,  de la forma (coeficientes a,b,c,d valores reales diferentes de cero) y aplicándole la función f(x)=ln(x).

La idea central del ejercicio, es desarrollar y hacer una representación gráfica  de las propiedades de la función, a fin utilizar conceptos de  modelación y técnicas matemáticas de Cálculo, las cuales se producen  a través relaciones entre variables.

i) Función de R en R

Sea una función f: R R, tal que

[1]

 

  X≠1 (Asíntota vertical en x=1)

 

ii) Dominio de Definición

 

El argumento de toda función logarítmica es siempre mayor que cero. (i.e. ln (Ѳ) está definido en R, sí y sólo sí Ѳ >0).

 

Luego,

 

Sea Ѳ =

Por tanto,

2x+1>0 ʌ x-1>0

  V

2x+1>0 ʌ x-1>0

 

  Df: ]- , -1/2 [ U ]1,+ [

 

Esto implica que el Dominio de Definición de la función [1], está definido en R menos el intervalo cerrado entre -1/2 y 1. Es decir, R - [-1/2, 1].

 

 

iii) Límites

 

Es claro que en los límites por la izquierda y por la derecha de los puntos -1/2 y 1 respectivamente, se constituyen en asíntotas verticales.

 

Nótese que limite por la derecha de -1/2 no está definido, como así mismo el limite por la izquierda de 1.

 

En efecto,

Los limites a más y menos infinito convergen a ln(2).  El limite a +infinito tiende por arriba y el limite a -infinito tiende por abajo. (Ver Gráfica 1)

iv) Intersección en los Ejes

El corte del eje x de la función definida en [1], es cuando y=0. Es decir, cuando el argumento del logaritmo

  X=-2

Corte en eje de las ordenadas no existe, dado que x=0 no está en el dominio de definición.

 

v) Rango

El Rango de la función definida en [1] en R es el intervalo

R-{0,693147181}

vi) Gráfica

 

El el bosquejo de la gráfica presenta la siguiente forma:

 

Grafica 1

 

Dos asíntotas verticales x = -1/2 y x = 1

Una asíntota horizontal en y = ln (2) = 0,693147181

La curva corta el eje x cuando x = -2. Es decir f (-2)=0

 

vii) Continuidad

 

La función f(x) definida en [1] no es continua en todos los Reales, si es continua separadamente en cada uno de los intervalos: ]- , -1/2 [ o ]1,+ [

 

Obviamente no presenta puntos críticos, dado que

 

        (Ver ii)

 

 

 

viii) Propiedades de Correspondencia

 

La función no es biyectiva de acuerdo a la definición en [1], dado que  no es sobre o suprayectiva .

 

Si se trata separadamente por uno de los intervalos del Dominio de Definición descrito en (ii) , - Por ejemplo el intervalo ]1,+ [ - y se considera como imagen el Rango descrito en (iv). Entonces, se construye una función continua y biyectiva. (1-1 y Sobre)

 

En efecto,

Sea F: ]1,+ [ ] ln (2), + ∞[ , tal que

 

ix) Inversa de F(x)

 

Si la función definida en [2] es biyectiva, entonces tiene inversa. Sea y = F-1(x) la función inversa,

 

                                                   

 

                                                    

 

Luego se despeja,  usando una variable auxiliar.  Sea  u = y - 1 , entonces sustituyendo en la expresión se transforma en:

 

                                                             

     

 

Simplificando  la expresión, tenemos la función inversa definida en [2]:

 

 

 

 

x) Comparación Gráfica Simple y Compuesta

 

Por un lado la función , tiene una asíntota vertical en x=1.

Es decir, el dominio de definición es R-{1}. Tiene una asíntota horizontal y=2. Es decir, el rango de la función es R-{2}. La  función corta el eje de las abscisas en x=-1/2 y el eje de las ordenadas en y=-1.

Por otro lado la función ,
 

mantiene la misma forma gráfica, pero su dominio de definición extrae el intervalo cerrado [-1/2, 1] de los Reales. La función corta el eje de las abscisa en x=-2 , pero no corta el eje y. (Ver [iv] )

 

Grafica 2

 

Grafica 3


 

 

 

xi) Integral de

Se descompone la integral utilizando las propiedades del logaritmo (ln(a/b)=ln(a)-ln(b) y las propiedad de la integral de una suma que es igual a la suma de sus integrales.

Luego,  se resuelve cada una de las integrales, utilizando la formula general para resolver integrales del logaritmo neperiano de funciones lineales.

 

Por tanto, sumando las resultantes de a) y b) se obtiene:

xii) Conclusión

Tras el análisis de la función definida en [1], el objetivo planteado en la introducción se cumplió. En efecto, se pudo pasar por una serie de conceptos estudiados en el Cálculo Infinitesimal.

Comenzar por el concepto de función en una variable dentro de los Reales, determinar el dominio de definición de una función compuesta, repasar los conjuntos abiertos o cerrados, utilizar la composición de funciones, verificar la utilización del logaritmo natural y sus propiedades, aplicar limites en los puntos extremos donde se producen discontinuidades, concluir dónde y cómo la función se puede trabajar en forma biyectiva, establecer su inversa, derivarla, ver si tiene puntos críticos, comparar las gráficas simple y compuesta, para finalmente integrar la función.

Aquellos que comprenden el método y técnicas matemáticas de este tipo de ejercicios, pronto encontrarán formas de aplicarlo en modelación y análisis de importantes trabajos.

xiii) Ejemplo Aplicación

Un ejemplo, de mejor comprensión es la utilización de curvas isocuantas, especialmente en funciones de producción. La más representativa es la Cobb-Douglas. Esta función no lineal, se lineariza aplicándole el logaritmo natural y de esa forma es posible regresar las variaciones, entre un nivel constante de producción y sus insumos ( tecnología, trabajo y capital, en tanto variables explicativas de la función). (Ver aplicación en Función de Producción DocIRS)


 
 
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